Какое наименьшее значение функции y=е^(2x)-8e^x+9 можно найти на отрезке [0;2]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции y=е^(2x)-8e^x+9 отрезок [0;2] алгебра 11 класс задачи по алгебре Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = e^(2x) - 8e^x + 9 на отрезке [0; 2], сначала упростим функцию и найдем её производную.

1. Упростим функцию:

Мы можем переписать функцию y следующим образом:

y = (e^x)^2 - 8(e^x) + 9.

Обозначим z = e^x, тогда функция примет вид:

y = z^2 - 8z + 9.

2. Найдем производную:

Теперь найдем производную функции y по переменной z:

dy/dz = 2z - 8.

3. Найдем критические точки:

Приравняем производную к нулю:

2z - 8 = 0.

Решая это уравнение, получаем:

2z = 8, z = 4.

4. Обратим внимание на ограничения:

Теперь вернемся к переменной x. Поскольку z = e^x, то:

e^x = 4.

Решим это уравнение:

x = ln(4).

5. Проверим, попадает ли x = ln(4) в наш отрезок [0; 2]:

Поскольку ln(4) примерно равно 1.386, это значение действительно лежит в отрезке [0; 2].

6. Теперь найдем значения функции на границах отрезка и в критической точке:

• y(0) = e^(2*0) - 8e^0 + 9 = 1 - 8 + 9 = 2.
• y(ln(4)) = e^(2*ln(4)) - 8e^(ln(4)) + 9 = 16 - 32 + 9 = -7.
• y(2) = e^(2*2) - 8e^2 + 9 = e^4 - 8e^2 + 9.

7. Теперь вычислим y(2):

Приблизительно e^4 ≈ 54.598 и e^2 ≈ 7.389, тогда:

y(2) ≈ 54.598 - 8 * 7.389 + 9 ≈ 54.598 - 59.112 + 9 ≈ 4.486.

8. Сравним все найденные значения:

• y(0) = 2,
• y(ln(4)) = -7,
• y(2) ≈ 4.486.

9. Наименьшее значение функции на отрезке [0; 2]:

Наименьшее значение функции y = e^(2x) - 8e^x + 9 на отрезке [0; 2] равно -7 и достигается в точке x = ln(4).