Какое наименьшее значение принимает функция y = e^(2x) - 2x на отрезке [-1; 1]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции y = e^(2x) - 2x отрезок [-1; 1] алгебра 11 класс анализ функции Новый

Для нахождения наименьшего значения функции y = e^(2x) - 2x на отрезке [-1; 1] нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

   Сначала мы находим производную функции y:

   y' = d/dx (e^(2x) - 2x) = 2e^(2x) - 2.

2. Найти критические точки.

   Теперь мы приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   2e^(2x) - 2 = 0.

   Решаем это уравнение:

   2e^(2x) = 2,

   e^(2x) = 1.

   Теперь применяем натуральный логарифм:

   2x = ln(1) = 0,

   x = 0.

3. Определить значения функции в критических точках и на границах отрезка.

   Теперь мы должны вычислить значения функции в критической точке и на границах отрезка [-1; 1]:

   • y(-1) = e^(-2) + 2,
   • y(0) = e^0 - 0 = 1,
   • y(1) = e^(2) - 2.
4. Сравнить найденные значения.

   Теперь вычислим каждое из значений:

   • y(-1) = e^(-2) + 2 ≈ 0.1353 + 2 ≈ 2.1353,
   • y(0) = 1,
   • y(1) = e^(2) - 2 ≈ 7.3891 - 2 ≈ 5.3891.

Сравнив значения, мы видим, что наименьшее значение функции на отрезке [-1; 1] равно 1, которое достигается в точке x = 0.

Ответ: Наименьшее значение функции y = e^(2x) - 2x на отрезке [-1; 1] равно 1.