Для нахождения среднего арифметического корней уравнения sin x + sin 3x = sin (270° - x) на отрезке [0; 2π], давайте сначала упростим уравнение.

1. Преобразуем правую часть уравнения:

• sin(270° - x) = -cos x

Таким образом, уравнение становится:

• sin x + sin 3x = -cos x

2. Переносим все члены в одну сторону:

• sin x + sin 3x + cos x = 0

3. Используем формулу для синуса тройного угла:

• sin 3x = 3sin x - 4sin³ x

Подставим это в уравнение:

• sin x + (3sin x - 4sin³ x) + cos x = 0

4. Упрощаем уравнение:

• 4sin x - 4sin³ x + cos x = 0

5. Разделим все на 4:

• sin x - sin³ x + 0.25cos x = 0

6. Это уравнение можно решить численно или графически, однако мы можем также использовать метод подбора значений. Давайте найдем корни на отрезке [0; 2π].

7. Подбираем значения x:

• x = 0: sin(0) + sin(0) = -cos(0) → 0 ≠ -1 (не корень)
• x = π/2: sin(π/2) + sin(3π/2) = -cos(π/2) → 1 - 1 = 0 (корень)
• x = π: sin(π) + sin(3π) = -cos(π) → 0 + 0 = 1 (не корень)
• x = 3π/2: sin(3π/2) + sin(9π/2) = -cos(3π/2) → -1 + 1 = 0 (корень)
• x = 2π: sin(2π) + sin(6π) = -cos(2π) → 0 + 0 = -1 (не корень)

Таким образом, мы нашли корни: x = π/2 и x = 3π/2.

8. Теперь найдем среднее арифметическое корней:

• Среднее арифметическое = (π/2 + 3π/2) / 2 = (4π/2) / 2 = 2π / 2 = π.

9. Переведем π в градусы:

• π радиан = 180°.

Ответ: Среднее арифметическое корней уравнения sin x + sin 3x = sin (270° - x) на отрезке [0; 2π] равно 180°.