Какое значение х удовлетворяет уравнению, если корень из 3 sin(x) + cos(x) = 2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения значение х уравнение корень sin cos алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение √(3) sin(x) + cos(x) = 2, начнем с анализа самого уравнения. Мы знаем, что значения sin(x) и cos(x) находятся в диапазоне от -1 до 1.

Теперь выразим √(3) sin(x) + cos(x). Максимальное значение √(3) sin(x) + cos(x) достигается, когда sin(x) и cos(x) достигают своих максимальных значений. Рассмотрим максимальное значение:

• Максимальное значение sin(x) равно 1, и максимальное значение cos(x) также равно 1.
• Подставим эти значения в уравнение: √(3) * 1 + 1 = √(3) + 1.

Теперь найдем, какое значение имеет √(3) + 1. Приблизительно это равно 2.732.

Поскольку максимальное значение √(3) sin(x) + cos(x) (примерно 2.732) больше 2, у нас есть возможность, что уравнение может иметь решения. Но давайте также проверим минимальное значение:

• Минимальное значение sin(x) равно -1, и минимальное значение cos(x) также равно -1.
• Подставим эти значения в уравнение: √(3) * (-1) + (-1) = -√(3) - 1.

Приблизительно это равно -2.732. Таким образом, минимальное значение √(3) sin(x) + cos(x) (примерно -2.732) меньше 2.

Теперь, чтобы понять, может ли уравнение иметь решения, заметим, что √(3) sin(x) + cos(x) может принимать значения от -√(3) - 1 до √(3) + 1. Значение 2 находится в этом диапазоне.

Теперь давайте выразим sin(x) и cos(x) в виде одной функции. Мы можем использовать формулу:

R sin(x + φ), где R = √(A² + B²) и tan(φ) = B/A.

• Здесь A = √(3) и B = 1.
• Тогда R = √(√(3)² + 1²) = √(3 + 1) = √4 = 2.
• Также tan(φ) = 1/√(3), значит φ = π/6.

Теперь можем записать уравнение:

2 sin(x + π/6) = 2.

Делим обе стороны на 2:

sin(x + π/6) = 1.

Решением этого уравнения будет:

x + π/6 = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь выразим x:

x = π/2 - π/6 + 2kπ.

Упрощаем это выражение:

x = 3π/6 - π/6 + 2kπ = 2π/6 + 2kπ = π/3 + 2kπ.

Таким образом, общее решение уравнения:

x = π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Это значит, что x может принимать множество значений, но основное решение x = π/3.