Какое значение имеет sin2a, если известно, что 8/13 + sina = cosa для некоторого действительного a?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс значение sin2a 8/13 + sina = cosa тригонометрические функции решение уравнения свойства синуса и косинуса Новый

Чтобы найти значение sin2a, начнем с уравнения, которое нам дано:

1. Исходное уравнение:

8/13 + sin(a) = cos(a)

Перепишем его, чтобы выразить sin(a) через cos(a):

2. Переписываем уравнение:

sin(a) = cos(a) - 8/13

Теперь мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

3. Основное тригонометрическое тождество:

sin²(a) + cos²(a) = 1

Подставим sin(a) из нашего уравнения:

4. Подстановка:

(cos(a) - 8/13)² + cos²(a) = 1

Раскроем скобки:

5. Раскрытие скобок:

• (cos²(a) - 2 * (8/13) * cos(a) + (8/13)²) + cos²(a) = 1

Теперь упростим это уравнение:

6. Упрощение:

• 2cos²(a) - (16/13)cos(a) + (64/169) = 1

Переносим 1 на левую сторону:

7. Переносим 1:

• 2cos²(a) - (16/13)cos(a) + (64/169) - 1 = 0

Приведем 1 к общему знаменателю:

8. Приведение к общему знаменателю:

• 2cos²(a) - (16/13)cos(a) + (64/169) - (169/169) = 0

Теперь упрощаем:

9. Упрощение:

• 2cos²(a) - (16/13)cos(a) - (105/169) = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно cos(a). Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

10. Формула корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 2, b = -16/13, c = -105/169. Подставляем значения:

11. Подстановка в формулу:

• cos(a) = [16/13 ± √((-16/13)² - 4 * 2 * (-105/169))] / (2 * 2)

После вычислений находим значения cos(a), а затем и sin(a) через основное тригонометрическое тождество.

12. Нахождение sin(a):

Теперь, когда у нас есть значения sin(a) и cos(a), мы можем найти sin(2a) с помощью формулы:

13. Формула синуса двойного угла:

sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a)

Подставляем найденные значения sin(a) и cos(a) в эту формулу, чтобы получить значение sin(2a).

14. Ответ:

Таким образом, мы можем найти значение sin(2a) в зависимости от найденных значений sin(a) и cos(a).