Давайте разберем каждое из уравнений по очереди и найдем сумму их корней.

Это квадратное уравнение по sin x. Обозначим sin x как t. У нас получится:

• t^2 - 3t + 2 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1

Корни уравнения:

• t1 = (3 + √1) / 2 = 2
• t2 = (3 - √1) / 2 = 1

Теперь найдем значения x:

• sin x = 2 (нет решений, так как sin x может принимать значения только от -1 до 1)
• sin x = 1, тогда x = 90°.

Сумма корней: 90°.

Используем тождество sin^2 x + cos^2 x = 1, чтобы выразить sin^2 x через cos^2 x:

• 3sin^2 x = 3(1 - cos^2 x) = 3 - 3cos^2 x

Подставим это в уравнение:

• 5cos^2 x - 5cos x = 1 - (3 - 3cos^2 x)
• 5cos^2 x - 5cos x = 3cos^2 x - 2
• 2cos^2 x - 5cos x + 2 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-5)^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9

Корни:

• cos x1 = (5 + 3) / 4 = 2
• cos x2 = (5 - 3) / 4 = 0.5

Решения для cos x = 2 нет, а для cos x = 0.5:

• x = 60° и x = 300°.

Поскольку x в [270°; 450°], то только x = 300° подходит.

Сумма корней: 300°.

Это более сложное уравнение. Мы можем использовать формулы сложения:

• sin 2x = 2sin x cos x
• sin 3x = 3sin x - 4sin^3 x
• sin 4x = 2sin 2x cos 2x = 4sin x cos x (1 - 2sin^2 x)

Объединим все слагаемые:

• sin x (1 + 2cos x + 3 - 4sin^2 x + 4cos x - 8sin^2 x) = 0

Решение sin x = 0 дает x = 0°, 180° (в пределах [0°, 180°]).

Сумма корней: 180°.

Перепишем уравнение:

• sin x = 1 - √3 × cos x

Находим x в диапазоне [270°, 450°]. Используем известные значения:

• Для x = 300°: sin(300°) = -√3/2 и cos(300°) = 1/2, тогда -√3/2 + √3/2 = 1 (не подходит).
• Для x = 330°: sin(330°) = -1/2 и cos(330°) = √3/2, тогда -1/2 + (√3/2)(√3) = 1 (подходит).

Сумма корней: 330°.

• 90° + 300° + 180° + 330° = 900°.

Ответ: Сумма корней всех уравнений равна 900°.