Какое значение имеет выражение √12 * cos²(5π/12) - √3?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства значение выражения алгебра 11 класс корень из 12 косинус 5π/12 вычисление выражений Новый

Чтобы найти значение выражения √12 * cos²(5π/12) - √3, давайте разберем его по шагам.

1. Упростим √12:

   Мы знаем, что √12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3. Таким образом, мы можем переписать выражение:

   2√3 * cos²(5π/12) - √3.

2. Вычтем √3:

   Теперь у нас есть выражение 2√3 * cos²(5π/12) - √3. Мы можем вынести √3 за скобки:

   √3 * (2 * cos²(5π/12) - 1).

3. Найдем значение cos²(5π/12):

   Для этого воспользуемся формулой косинуса:

   cos(5π/12) = cos(π/3 + π/4) = cos(π/3) * cos(π/4) - sin(π/3) * sin(π/4).

   Теперь подставим значения:

   • cos(π/3) = 1/2,
   • cos(π/4) = √2/2,
   • sin(π/3) = √3/2,
   • sin(π/4) = √2/2.

   Подставляем и считаем:

   cos(5π/12) = (1/2) * (√2/2) - (√3/2) * (√2/2) = (√2/4) - (√6/4) = (√2 - √6)/4.

   Теперь найдем cos²(5π/12):

   cos²(5π/12) = ((√2 - √6)/4)² = (2 - 2√12 + 6)/16 = (8 - 2√12)/16 = (4 - √12)/8.

4. Подставим значение cos²(5π/12) в выражение:

   Теперь у нас есть:

   √3 * (2 * (4 - √12)/8 - 1).

   Упростим это выражение:

   2 * (4 - √12)/8 = (8 - 2√12)/8 = 1 - (√12/4).

   Таким образом, выражение становится:

   √3 * (1 - (√12/4) - 1) = -√3 * (√12/4).

   Теперь мы знаем, что √12 = 2√3, и подставим это значение:

   -√3 * (2√3/4) = -√3 * (√3/2) = -3/2.

Ответ: Значение выражения √12 * cos²(5π/12) - √3 равно -3/2.