Какое значение имеет выражение (2+i)^7+(2-i)^7?

Алгебра 11 класс Комплексные числа алгебра 11 класс выражение (2+i)^7 значение выражения комплексные числа сложение комплексных чисел Новый

Чтобы найти значение выражения (2+i)⁷ + (2-i)⁷, давайте воспользуемся формулой бинома Ньютона и свойствами комплексных чисел.

Сначала обозначим:

• a = 2 + i
• b = 2 - i

Обратите внимание, что b является комплексно-сопряжённым к a. Это значит, что их сумма и произведение будут иметь некоторые интересные свойства.

Теперь мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона для разложения:

(2+i)⁷ = (a)⁷ = (x + y)ⁿ = Σ (C(n, k) * x^n-k * y^k),

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, x = 2, y = i, n = 7.

Аналогично:

(2-i)⁷ = (b)⁷ = (x - y)ⁿ = Σ (C(n, k) * x^n-k * (-y)^k).

Теперь давайте сложим два выражения:

(2+i)⁷ + (2-i)⁷ = Σ (C(7, k) * 2^7-k * i^k) + Σ (C(7, k) * 2^7-k * (-i)^k).

При сложении, члены с нечетными значениями k (где k = 1, 3, 5, 7) будут взаимно уничтожаться, так как i^k и (-i)^k будут давать противоположные значения. А члены с четными значениями k (где k = 0, 2, 4, 6) будут удваиваться.

Таким образом, итоговое выражение будет содержать только четные члены:

(2+i)⁷ + (2-i)⁷ = 2 * Σ (C(7, 2k) * 2^7-2k * i^2k), где k = 0, 1, 2, 3.

Теперь вычислим конкретные значения:

• k = 0: C(7, 0) * 2⁷ * i⁰ = 1 * 128 * 1 = 128
• k = 1: C(7, 2) * 2⁵ * i² = 21 * 32 * (-1) = -672
• k = 2: C(7, 4) * 2³ * i⁴ = 35 * 8 * 1 = 280
• k = 3: C(7, 6) * 2¹ * i⁶ = 7 * 2 * (-1) = -14

Теперь суммируем только четные члены:

128 - 672 + 280 - 14 = -278.

Итак, итоговое значение:

2 * (-278) = -556.

Таким образом, значение выражения (2+i)⁷ + (2-i)⁷ равно -556.