Похожие вопросы
2025-09-03 14:07:13
Какое значение имеет выражение ctg²a - tg²a, если известно, что ctga - tga = 5?
Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства ctg2a tg²a значение выражения алгебра 11 класс решение уравнения тригонометрические функции ctga tga математические выражения алгебраические задачи
2025-09-03 14:07:28
Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть выражение ctg²a - tg²a, и мы знаем, что ctg(a) - tg(a) = 5.
Давайте обозначим ctg(a) как x и tg(a) как y. Таким образом, мы можем записать:
- x - y = 5
Также мы знаем, что:
- ctg(a) = 1/tg(a) или x = 1/y.
Теперь выразим y через x из первого уравнения:
- y = x - 5.
Подставим это значение y во второе уравнение:
- x = 1/(x - 5).
Теперь умножим обе стороны на (x - 5) для избавления от дроби:
- x(x - 5) = 1.
Раскроем скобки:
- x² - 5x - 1 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 1 * (-1) = 25 + 4 = 29.
Теперь находим корни уравнения:
- x₁ = (5 + √29)/2,
- x₂ = (5 - √29)/2.
Теперь мы можем найти y для каждого значения x, подставив их в y = x - 5:
- y₁ = (5 + √29)/2 - 5 = (√29 - 5)/2,
- y₂ = (5 - √29)/2 - 5 = (−√29 - 5)/2.
Теперь мы можем найти значение ctg²a - tg²a. Используем формулу:
- ctg²a - tg²a = (ctg(a) + tg(a))(ctg(a) - tg(a)).
Мы уже знаем, что ctg(a) - tg(a) = 5. Теперь найдем ctg(a) + tg(a):
- ctg(a) + tg(a) = x + y = (x - 5) + x = 2x - 5.
Теперь подставим значение x:
- ctg(a) + tg(a) = 2 * (5 + √29)/2 - 5 = √29.
Теперь подставим все в формулу:
- ctg²a - tg²a = (ctg(a) + tg(a))(ctg(a) - tg(a)) = √29 * 5 = 5√29.
Таким образом, значение выражения ctg²a - tg²a равно 5√29.