Какое значение угла x является наименьшим решением уравнения: sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения угол X наименьшее решение уравнение sin cos алгебра 11 класс тригонометрические функции решение уравнения Новый

Чтобы решить уравнение sin(x) + sin(2x) + sin(3x = 1 + cos(x) + cos(2x), начнем с упрощения его левой и правой части.

Сначала преобразуем правую часть уравнения:

• Мы знаем, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Подставим это в уравнение:
• Тогда правая часть станет 1 + cos(x) + (1 - 2sin^2(x)).
• Упрощая, получим 2 + cos(x) - 2sin^2(x).

Теперь у нас есть:

sin(x) + sin(2x) + sin(3x = 2 + cos(x) - 2sin^2(x)

Теперь рассмотрим левую часть. Мы можем использовать формулы для синусов:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Подставив эти формулы, мы получим:

sin(x) + 2sin(x)cos(x) + (3sin(x) - 4sin^3(x)) = 2 + cos(x) - 2sin^2(x)

Объединим все синусы:

(1 + 2cos(x) + 3 - 4sin^2(x))sin(x) = 2 + cos(x) - 2sin^2(x)

Теперь упростим уравнение и перенесем все на одну сторону:

(1 + 2cos(x) + 3 - 4sin^2(x))sin(x) - (2 + cos(x) - 2sin^2(x)) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение численно или графически. Однако, чтобы найти наименьшее значение угла x, можно воспользоваться методом подбора значений.

Проверим некоторые углы:

• Для x = 0: sin(0) + sin(0) + sin(0) = 0 и 1 + cos(0) + cos(0) = 3 (не подходит).
• Для x = π/2: sin(π/2) + sin(π) + sin(3π/2) = 1 + 0 - 1 = 0 и 1 + cos(π/2) + cos(π) = 1 + 0 - 1 = 0 (подходит).
• Для x = π: sin(π) + sin(2π) + sin(3π) = 0 и 1 + cos(π) + cos(2π) = 1 - 1 + 1 = 1 (не подходит).

Таким образом, наименьшее решение уравнения:

x = π/2