Каков предел функции (1+cosx)/(П-x)^2 при X, стремящемся к П?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел функции (1+cosx)/(П-x)^2 предел при X стремящемся к П алгебра 11 класс пределы в алгебре Новый

Чтобы найти предел функции (1 + cos(x)) / (π - x)² при x, стремящемся к π, следуем следующим шагам:

1. Подставим значение x = π:
   • В числителе: 1 + cos(π) = 1 - 1 = 0.
   • В знаменателе: (π - π)² = 0² = 0.

   Мы получаем неопределенность вида 0/0, что означает, что нужно использовать другие методы для нахождения предела.

2. Применим правило Лопиталя:
   • Сначала найдем производные числителя и знаменателя.
   • Числитель: производная от (1 + cos(x)) равна -sin(x).
   • Знаменатель: производная от (π - x)² равна 2(π - x)(-1) = -2(π - x).
3. Применим правило Лопиталя:

   Теперь мы можем переписать предел:

   lim (x → π) (1 + cos(x)) / (π - x)² = lim (x → π) -sin(x) / (-2(π - x)) = lim (x → π) sin(x) / (2(π - x)).

4. Подставим x = π снова:
   • В числителе: sin(π) = 0.
   • В знаменателе: 2(π - π) = 0.

   Снова получаем неопределенность 0/0, и снова применяем правило Лопиталя.

5. Второй раз применяем правило Лопиталя:
   • Числитель: производная от sin(x) равна cos(x).
   • Знаменатель: производная от 2(π - x) равна -2.

   Теперь предел выглядит так:

   lim (x → π) cos(x) / -2.

6. Подставим x = π:
   • cos(π) = -1.

   Таким образом, предел равен:

   lim (x → π) cos(x) / -2 = -1 / -2 = 1/2.

Ответ: Предел функции (1 + cos(x)) / (π - x)² при x, стремящемся к π, равен 1/2.