Каков предел выражения lim x->0 (e^sin(2x) - 1) / (sin(x) + sin(3x))?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел выражения lim x->0 e^sin(2x) sin(x) sin(3x) алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти предел выражения lim x->0 (e^sin(2x) - 1) / (sin(x) + sin(3x)), мы начнем с анализа числителя и знаменателя отдельно.

Шаг 1: Анализ числителя

В числителе у нас есть e^sin(2x) - 1. При x стремящемся к 0, sin(2x) также стремится к 0. Мы можем использовать разложение функции e^y в ряд Тейлора, где y = sin(2x).

• Разложение e^y: e^y = 1 + y + y^2/2 + ...
• Подставляем y = sin(2x): e^sin(2x) = 1 + sin(2x) + (sin(2x))^2/2 + ...
• Следовательно, e^sin(2x) - 1 = sin(2x) + (sin(2x))^2/2 + ...

При малых x, sin(2x) ≈ 2x, поэтому:

• e^sin(2x) - 1 ≈ 2x.

Шаг 2: Анализ знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель sin(x) + sin(3x). При x стремящемся к 0, мы также можем использовать приближения для синуса:

• sin(x) ≈ x и sin(3x) ≈ 3x.

Таким образом,:

• sin(x) + sin(3x) ≈ x + 3x = 4x.

Шаг 3: Подставляем в предел

Теперь мы можем подставить наши приближения в предел:

• lim x->0 (e^sin(2x) - 1) / (sin(x) + sin(3x)) ≈ lim x->0 (2x) / (4x).

Сократив x в числителе и знаменателе (при условии, что x ≠ 0), получаем:

• lim x->0 (2/4) = 1/2.

Ответ: Предел равен 1/2.