Каков предел выражения lim(x -> 0) sin^2(5x) / (cos(4x) * tg(x))?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел выражения лимит sin^2(5x) cos(4x) tg(x) алгебра 11 класс математический анализ Новый

Для нахождения предела выражения lim(x -> 0) sin^2(5x) / (cos(4x) * tg(x)) мы будем использовать некоторые известные пределы и свойства тригонометрических функций.

Шаг 1: Начнем с разложения функций в окрестности нуля.

• При x стремящемся к 0, sin(5x) можно аппроксимировать как 5x, так как lim(x -> 0) sin(kx) / (kx) = 1 для любого k.
• Следовательно, sin^2(5x) = (sin(5x))^2 ≈ (5x)^2 = 25x^2.
• Теперь рассмотрим cos(4x). При x стремящемся к 0, cos(4x) стремится к cos(0) = 1.
• Для tg(x) мы знаем, что tg(x) = sin(x) / cos(x). При x стремящемся к 0, tg(x) ≈ x, так как lim(x -> 0) tg(x) / x = 1.

Шаг 2: Подставим полученные приближения в исходное выражение:

lim(x -> 0) sin^2(5x) / (cos(4x) * tg(x)) = lim(x -> 0) 25x^2 / (1 * x) = lim(x -> 0) 25x^2 / x.

Шаг 3: Упростим выражение:

25x^2 / x = 25x.

Шаг 4: Теперь найдем предел:

lim(x -> 0) 25x = 25 * 0 = 0.

Ответ: Предел lim(x -> 0) sin^2(5x) / (cos(4x) * tg(x)) равен 0.