Для вычисления выражения ((-1+i sqrt3)/2)^4 нам нужно сначала упростить его, а затем возвести в степень.

Шаг 1: Упростим выражение (-1+i sqrt3)/2.

• Разделим числитель на 2: -1/2 + i(sqrt3/2).

Теперь у нас есть комплексное число в форме a + bi, где a = -1/2 и b = sqrt3/2.

Шаг 2: Найдем модуль и аргумент этого комплексного числа.

• Модуль: |z| = sqrt(a^2 + b^2).
• Подставим значения: |z| = sqrt((-1/2)^2 + (sqrt3/2)^2) = sqrt(1/4 + 3/4) = sqrt(1) = 1.
• Аргумент: arg(z) = arctan(b/a). Но проще определить его по координатам.
• Так как a < 0 и b > 0, мы находимся во втором квадранте. Аргумент равен π - arctan(sqrt3/(-1)) = π - (2π/3) = π/3.

Шаг 3: Теперь представим комплексное число в тригонометрической форме. Мы имеем:

z = 1(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).

Шаг 4: Теперь возведем это число в четвертую степень. По формуле Муавра:

• z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)), где r - модуль, θ - аргумент, n - степень.
• В нашем случае n = 4, r = 1, θ = 2π/3.
• Тогда z^4 = 1^4 (cos(4*(2π/3)) + i sin(4*(2π/3))) = cos(8π/3) + i sin(8π/3).

Шаг 5: Упростим угол 8π/3. Он больше 2π, поэтому вычтем 2π:

• 8π/3 - 6π/3 = 2π/3.

Шаг 6: Теперь найдем значения косинуса и синуса:

• cos(2π/3) = -1/2,
• sin(2π/3) = sqrt3/2.

Шаг 7: Подставим значения обратно:

z^4 = -1/2 + i(sqrt3/2).

Таким образом, результат вычисления ((-1+i sqrt3)/2)^4 равен -1/2 + i(sqrt3/2).