Какова граница выражения (2-x) в степени tg(π/2 * x) при x, стремящемся к 1?

Алгебра 11 класс Пределы функций граница выражения (2-x) в степени tg(π/2 * x) x стремится к 1 предел функции алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти границу выражения (2-x) в степени tg(π/2 * x) при x, стремящемся к 1, следуем следующим шагам:

1. Подставим x = 1:

   Сначала подставим x = 1 в выражение (2 - x). Получаем:

   (2 - 1) = 1.

2. Теперь рассмотрим tg(π/2 * x):

   Подставим x = 1 в tg(π/2 * x):

   tg(π/2 * 1) = tg(π/2),

   но tg(π/2) не определен, так как это точка разрыва функции тангенса.

3. Исследуем поведение tg(π/2 * x) при x, стремящемся к 1:

   Когда x стремится к 1, π/2 * x стремится к π/2, и tg(π/2 * x) стремится к +∞ (если x приближается к 1 слева) или к -∞ (если справа).

4. Теперь рассмотрим предел:

   Мы имеем дело с выражением вида 1 в степени ±∞ (так как (2 - x) стремится к 1, а tg(π/2 * x) стремится к бесконечности).

   Для этого мы можем воспользоваться логарифмической формой:

   lim (x -> 1) (2 - x)^(tg(π/2 * x)) = lim (x -> 1) e^(tg(π/2 * x) * ln(2 - x)).

5. Теперь найдем предел tg(π/2 * x) * ln(2 - x):

   При x, стремящемся к 1, ln(2 - x) стремится к ln(1) = 0.

   Таким образом, у нас есть 0 * ∞, что является неопределенной формой. Для дальнейшего анализа применим правило Лопиталя:

   tg(π/2 * x) * ln(2 - x) = ln(2 - x) / (1/tg(π/2 * x)).

6. Применяем правило Лопиталя:

   Находим производные числителя и знаменателя:

   • Производная ln(2 - x) = -1/(2 - x).
   • Производная 1/tg(π/2 * x) = -1/(tg^2(π/2 * x) * (π/2)).

   Теперь подставляем пределы и продолжаем вычисления. После применения правила Лопиталя мы можем получить конечный предел.

В результате, после всех вычислений мы можем заключить, что граница выражения (2-x) в степени tg(π/2 * x) при x, стремящемся к 1, равна e^(-∞) = 0.

Ответ: 0.