Какова область допустимых значений для уравнения: (х-3)/(х-5) + 1/х = (х+5)/(х(х-5))?

1. Укажите область допустимых значений уравнения.
2. Приведите рациональное уравнение к квадратному уравнению.
3. Найдите решение рационального уравнения.

Алгебра 11 класс Рациональные уравнения область допустимых значений уравнение рациональное уравнение квадратное уравнение решение уравнения

Для начала, давайте рассмотрим данное уравнение:

(х-3)/(х-5) + 1/х = (х+5)/(х(х-5)).

Шаг 1: Определим область допустимых значений.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения - это значения x, при которых выражение имеет смысл. В данном случае, мы должны учесть, что знаменатели не могут равняться нулю.

• Знаменатель (х-5) не должен равняться нулю, следовательно, х ≠ 5.
• Знаменатель х не должен равняться нулю, следовательно, х ≠ 0.

Таким образом, ОДЗ: х ≠ 0 и х ≠ 5.

Шаг 2: Приведем рациональное уравнение к квадратному уравнению.

Теперь упростим уравнение. Для этого найдем общий знаменатель для левой части:

Общий знаменатель для (х-5) и х будет х(х-5). Умножим обе стороны уравнения на этот общий знаменатель:

х(х-5) * [(х-3)/(х-5) + 1/х] = х(х-5) * (х+5)/(х(х-5)).

После упрощения мы получаем:

• (х * (х-3)) + ((х-5)) = (х+5).

Раскроем скобки:

• х² - 3х + х - 5 = х + 5.

Соберем все в одну сторону:

• х² - 3х + х - 5 - х - 5 = 0.

Упрощая, получаем:

• х² - 3х - 10 = 0.

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения.

Теперь мы можем решить квадратное уравнение х² - 3х - 10 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.

Так как D > 0, у нас два различных корня:

• х₁ = (3 + √49)/2 = (3 + 7)/2 = 5.
• х₂ = (3 - √49)/2 = (3 - 7)/2 = -2.

Шаг 4: Проверяем корни на принадлежность ОДЗ.

Мы нашли корни: х₁ = 5 и х₂ = -2. Однако, х₁ = 5 не принадлежит ОДЗ, так как мы уже установили, что х ≠ 5.

Таким образом, единственное решение уравнения:

х = -2.

Ответ:

Область допустимых значений: х ≠ 0 и х ≠ 5.

Решение: х = -2.

Рассмотрим уравнение: (х-3)/(х-5) + 1/х = (х+5)/(х(х-5)). Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения.

1. Область допустимых значений:

• Сначала определим значения, при которых дроби в уравнении не определены.
• Первая дробь (х-3)/(х-5) не определена, если знаменатель равен нулю, т.е. х-5 = 0. Это приводит к тому, что х ≠ 5.
• Вторая дробь 1/х не определена, если х = 0.
• Третья дробь (х+5)/(х(х-5)) также не определена при х = 0 и х = 5.

Таким образом, область допустимых значений уравнения: х ∈ R, х ≠ 0, х ≠ 5.

2. Приведение рационального уравнения к квадратному уравнению:

Теперь давайте преобразуем данное уравнение. Умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель, который равен х(х-5):

• (х-3) * х + (х-5) = (х+5).

Раскроем скобки:

• х^2 - 3х + х - 5 = х + 5.

Соберем все члены на одной стороне уравнения:

• х^2 - 3х + х - 5 - х - 5 = 0.

Упростим уравнение:

• х^2 - 3х - 10 = 0.

3. Найдем решение квадратного уравнения:

Теперь у нас есть квадратное уравнение: х^2 - 3х - 10 = 0.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -3, c = -10.
• D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.

Теперь найдем корни:

• х1 = (3 + √49) / 2 = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5.
• х2 = (3 - √49) / 2 = (3 - 7) / 2 = -4 / 2 = -2.

Таким образом, у нас есть два корня: х1 = 5 и х2 = -2. Однако, помним, что х ≠ 5 из области допустимых значений.

Таким образом, единственным решением уравнения является:

• х = -2.

Ответ: Область допустимых значений: х ∈ R, х ≠ 0, х ≠ 5; Решение уравнения: х = -2.