Какова разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения cos^2x - 0,5sin2x = 0 на отрезке [0; 2π]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения разность корней наибольший корень наименьший корень уравнение косинуса отрезок [0; 2π] алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения cos^2(x) - 0.5sin(2x) = 0 начнем с преобразования уравнения. Напомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

cos^2(x) - 0.5 * 2sin(x)cos(x) = 0

Упрощаем уравнение:

cos^2(x) - sin(x)cos(x) = 0

Теперь вынесем cos(x) за скобки:

cos(x)(cos(x) - sin(x)) = 0

Таким образом, у нас есть два случая:

1. cos(x) = 0
2. cos(x) - sin(x) = 0

Рассмотрим первый случай:

1. cos(x) = 0

Это уравнение имеет решения:

• x = π/2
• x = 3π/2

Теперь рассмотрим второй случай:

2. cos(x) - sin(x) = 0

Это можно переписать как:

cos(x) = sin(x)

Это уравнение выполняется, когда:

• x = π/4
• x = 5π/4

Теперь у нас есть все корни уравнения на отрезке [0; 2π]:

• x = π/4
• x = π/2
• x = 3π/2
• x = 5π/4

Теперь найдем наибольший и наименьший корни:

• Наименьший корень: π/4
• Наибольший корень: 3π/2

Теперь вычислим разность между наибольшим и наименьшим корнями:

3π/2 - π/4

Чтобы вычесть эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 2 и 4 — это 4:

• 3π/2 = 6π/4
• π/4 = π/4

Теперь у нас есть:

6π/4 - π/4 = (6π - π)/4 = 5π/4

Таким образом, разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения cos^2(x) - 0.5sin(2x) = 0 на отрезке [0; 2π] равна 5π/4.