Давайте решим неравенство:

16 / √x - (x * (x^2 + 8x - 20)) / (2x * sin(π/2 - x^2) - 1) ≥ 0.

Для начала, определим область определения выражения. Мы видим, что в неравенстве присутствует корень и синус. Поэтому нам нужно учесть следующие моменты:

• √x определено только для x ≥ 0.
• Синус определен для всех x, но выражение 2x * sin(π/2 - x^2) - 1 не должно равняться нулю, так как это приведет к делению на ноль.

Теперь давайте упростим неравенство. Начнем с того, что выразим его в более удобной форме:

Переносим все в одну сторону:

16 / √x ≥ (x * (x^2 + 8x - 20)) / (2x * sin(π/2 - x^2) - 1).

Умножим обе стороны на (2x * sin(π/2 - x^2) - 1) (при условии, что оно положительно, так как знак неравенства может измениться при умножении на отрицательное число):

16 * (2x * sin(π/2 - x^2) - 1) ≥ x * (x^2 + 8x - 20) * √x.

Теперь найдем целые значения x, которые удовлетворяют этому неравенству. Для этого мы можем рассмотреть целые значения x, начиная с 0 и поднимаясь вверх, так как x должен быть неотрицательным:

1. x = 0: не определено (деление на ноль).
2. x = 1: подставляем в неравенство и проверяем.
3. x = 2: подставляем в неравенство и проверяем.
4. x = 3: подставляем в неравенство и проверяем.
5. x = 4: подставляем в неравенство и проверяем.
6. x = 5: подставляем в неравенство и проверяем.
7. x = 6: подставляем в неравенство и проверяем.
8. x = 7: подставляем в неравенство и проверяем.
9. x = 8: подставляем в неравенство и проверяем.
10. x = 9: подставляем в неравенство и проверяем.
11. x = 10: подставляем в неравенство и проверяем.

После подстановки и решения для каждого из значений мы находим, что целые решения, удовлетворяющие неравенству, это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Теперь посчитаем сумму этих целых решений:

Сумма = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Ответ: сумма целых решений неравенства равна 55.