Какова сумма корней уравнения 1 - sin(5x) = (cos(3x/2) - sin(3x/2))^2, которые находятся в пределах отрезка [360° ; 450°]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения сумма корней уравнение 1 - sin(5x) cos(3x/2) sin(3x/2) отрезок [360° ; 450°] алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти сумму корней уравнения 1 - sin(5x) = (cos(3x/2) - sin(3x/2))^2 на отрезке [360° ; 450°], давайте сначала упростим уравнение.

1. Начнем с правой части уравнения:

• Преобразуем (cos(3x/2) - sin(3x/2))^2:
• Это выражение можно раскрыть как cos^2(3x/2) - 2cos(3x/2)sin(3x/2) + sin^2(3x/2).
• Используем тождество cos^2(a) + sin^2(a) = 1, чтобы упростить:
• Получаем 1 - 2cos(3x/2)sin(3x/2).
• Также помним, что 2cos(a)sin(a) = sin(2a), тогда -2cos(3x/2)sin(3x/2) = -sin(3x).

2. Таким образом, уравнение становится:

1 - sin(5x) = 1 - sin(3x)

3. Упрощаем это уравнение:

sin(5x) = sin(3x)

4. Теперь мы можем использовать свойство синуса. Если sin(A) = sin(B), то:

• A = B + 2kπ или
• A = π - B + 2kπ, где k - целое число.

5. Применим это к нашему уравнению:

• 5x = 3x + 2kπ или 5x = π - 3x + 2kπ.

6. Решим первое уравнение:

• 5x - 3x = 2kπ
• 2x = 2kπ
• x = kπ.

7. Теперь подставим k = 1 и k = 2, чтобы найти значения x в пределах [360° ; 450°]:

• k = 1: x = 180° (не входит в отрезок)
• k = 2: x = 360° (входит в отрезок)

8. Теперь решим второе уравнение:

• 5x = π - 3x + 2kπ
• 5x + 3x = π + 2kπ
• 8x = π + 2kπ
• x = (π + 2kπ)/8.

9. Подставляем значения k:

• k = 0: x = π/8 (не входит в отрезок)
• k = 1: x = (π + 2π)/8 = 3π/8 (не входит в отрезок)
• k = 2: x = (π + 4π)/8 = 5π/8 (не входит в отрезок)
• k = 3: x = (π + 6π)/8 = 7π/8 (не входит в отрезок)
• k = 4: x = (π + 8π)/8 = 9π/8 (входит в отрезок)

10. Преобразуем значения в градусы:

• 360° = 2π
• 450° = 5π/4

11. Теперь подытожим все корни, которые мы нашли:

• x = 360°
• x = 405° (из 9π/8, что соответствует 405°)

12. Сумма корней:

360° + 405° = 765°

Таким образом, сумма корней уравнения в пределах отрезка [360° ; 450°] равна 765°.