Какова сумма корней уравнения √3sin(πx) = -2 - cos(πx), которые находятся в пределах отрезка [-1; 4]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения сумма корней уравнение алгебра 11 класс √3sin(πx) -2 - cos(πx) отрезок [-1; 4] Новый

Чтобы найти сумму корней уравнения √3sin(πx) = -2 - cos(πx) в пределах отрезка [-1; 4], давайте сначала преобразуем это уравнение.

Перепишем уравнение в более удобной форме:

• √3sin(πx) + cos(πx) + 2 = 0.

Теперь мы можем использовать тригонометрическую идентичность и основные свойства синуса и косинуса. Поскольку синус и косинус имеют период 2, мы можем ограничить наш анализ значениями x в пределах одного периода, а затем использовать периодичность функций.

Определим период функции. Период синуса и косинуса равен 2. Следовательно, мы можем рассмотреть значения x от 0 до 2, а затем добавить период к этим значениям.

Теперь найдем корни уравнения на отрезке [-1; 4]. Сначала решим уравнение:

• √3sin(πx) + cos(πx) + 2 = 0.

Для этого удобно использовать метод подбора или графический метод. Мы можем выразить одну из функций через другую. Например, выразим sin(πx):

• sin(πx) = (-cos(πx) - 2) / √3.

Теперь заметим, что значения синуса находятся в диапазоне от -1 до 1. Поэтому мы должны проверить, удовлетворяет ли правая часть уравнения этому условию:

• -1 ≤ (-cos(πx) - 2) / √3 ≤ 1.

Умножим все части на √3 (учитывая, что √3 > 0):

• -√3 ≤ -cos(πx) - 2 ≤ √3.

Теперь добавим 2 ко всем частям:

• 2 - √3 ≤ -cos(πx) ≤ 2 + √3.

Затем умножим на -1 и поменяем знаки неравенств:

• - (2 + √3) ≤ cos(πx) ≤ - (2 - √3).

Теперь определим, какие значения cos(πx) могут быть в этом диапазоне. Поскольку cos(πx) также находится в диапазоне от -1 до 1, мы можем определить, что:

• -1 ≤ - (2 - √3) => 2 - √3 ≤ 1.
• 2 - √3 ≈ 0.268.

Таким образом, у нас есть условие:

• -1 ≤ cos(πx) ≤ 0.268.

Теперь мы можем найти значения x, где cos(πx) будет находиться в этом диапазоне. Это происходит, когда:

• πx = arccos(-1) + 2kπ, k ∈ Z (косинус равен -1 на 2kπ + π);
• πx = arccos(0.268) + 2kπ, k ∈ Z.

Теперь найдем конкретные значения:

• arccos(-1) = π (x = 1/2);
• arccos(0.268) ≈ 1.249 (x ≈ 1.249/π);

Теперь проверим, какие из этих значений находятся в пределах [-1; 4]. Так как мы имеем периодические функции, добавим 2 для получения других корней:

• x = 1/2 + k (k = 0, 1, 2, ...);
• x = 1.249/π + k (k = 0, 1, 2, ...).

Теперь, зная, что мы можем добавлять 2 (период), найдем все возможные x в пределах [-1, 4].

Корни уравнения в пределах отрезка [-1; 4] будут:

• x1 = 1/2;
• x2 = 1.249/π (приблизительно 0.397);
• x3 = 1/2 + 2 = 2.5;
• x4 = 1.249/π + 2 (приблизительно 2.397);
• x5 = 1/2 + 4 = 4.5 (не входит в диапазон);

Теперь найдем сумму всех корней:

• Сумма = 1/2 + 1.249/π + 2.5 + 1.249/π + 2 = 4 + 2*(1.249/π) + 0.5.

Таким образом, сумма корней уравнения в пределах отрезка [-1; 4] составляет:

• Сумма ≈ 4 + 0.796 + 0.5 = 5.296.

Ответ: Сумма корней уравнения в пределах отрезка [-1; 4] приблизительно равна 5.296.