Какова сумма корней (в градусах) уравнения 3tg^2x + cos2x = 2cos^2x, находящихся на отрезке [0; 180]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения сумма корней уравнение 3tg^2x cos2x 2cos^2x отрезок [0; 180] алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения 3tg^2x + cos2x = 2cos^2x начнем с преобразования его в более удобный для анализа вид.

Сначала вспомним, что cos2x можно выразить через cos^2x:

• cos2x = 2cos^2x - 1

Подставим это выражение в уравнение:

• 3tg^2x + (2cos^2x - 1) = 2cos^2x

Теперь упростим уравнение:

• 3tg^2x - 1 = 0

Выразим tg^2x:

• 3tg^2x = 1
• tg^2x = 1/3

Теперь найдем tgx:

• tgx = ±sqrt(1/3)

Так как мы ищем корни на отрезке [0; 180], рассмотрим только положительное значение:

• tgx = sqrt(1/3)

Теперь найдем угол x, для которого tgx = sqrt(1/3}:

• x = arctg(sqrt(1/3))

Это значение находится в первом квадранте. Также, поскольку тангенс положителен во втором квадранте, мы можем найти второй корень:

• x = 180 - arctg(sqrt(1/3))

Теперь у нас есть два корня:

• x1 = arctg(sqrt(1/3))
• x2 = 180 - arctg(sqrt(1/3))

Теперь найдем сумму корней:

• Сумма = x1 + x2 = arctg(sqrt(1/3)) + (180 - arctg(sqrt(1/3))) = 180

Таким образом, сумма корней уравнения на отрезке [0; 180] равна 180 градусов.