Чтобы найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x^2 + 54/x на отрезке [1;6], нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Это позволит нам определить критические точки, которые могут быть максимумами или минимумами функции.

Найдем производную f(x):

f'(x) = 2x - 54/x^2.

1. Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек:

2x - 54/x^2 = 0.

Умножим обе стороны уравнения на x^2 (x ≠ 0):

2x^3 - 54 = 0.

2x^3 = 54.

x^3 = 27.

x = 3.

1. Теперь нужно проверить значения функции в критической точке и на границах отрезка [1; 6].

Посчитаем f(x) для x = 1, x = 3 и x = 6:

• f(1) = 1^2 + 54/1 = 1 + 54 = 55.
• f(3) = 3^2 + 54/3 = 9 + 18 = 27.
• f(6) = 6^2 + 54/6 = 36 + 9 = 45.

1. Теперь сравним найденные значения:

Мы получили:

• f(1) = 55,
• f(3) = 27,
• f(6) = 45.

Наименьшее значение функции на отрезке [1; 6] равно 27 (при x = 3), а наибольшее значение равно 55 (при x = 1).

1. Найдем сумму наибольшего и наименьшего значений:

Сумма = 27 + 55 = 82.

Ответ: Сумма наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [1; 6] равна 82.