Какова сумма различных корней уравнения sin3x × sin7x = sinx × sin9x в интервале (-0,25π; 0,5π)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 уравнение сумма корней sin3x sin7x sinx sin9x интервал решение Тригонометрия Новый

Для решения уравнения sin(3x) × sin(7x) = sin(x) × sin(9x) в заданном интервале (-0,25π; 0,5π) начнем с преобразования уравнения.

Сначала воспользуемся тригонометрическими тождествами. У нас есть произведения синусов, которые можно выразить через суммы:

• sin(A) × sin(B) = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)

Применяем данное тождество к обеим сторонам уравнения:

• sin(3x) × sin(7x) = 1/2 [cos(4x) - cos(10x)]
• sin(x) × sin(9x) = 1/2 [cos(8x) - cos(10x)]

Теперь подставим эти равенства в уравнение:

1/2 [cos(4x) - cos(10x)] = 1/2 [cos(8x) - cos(10x)]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

cos(4x) - cos(10x) = cos(8x) - cos(10x)

Теперь перенесем cos(10x) на одну сторону:

cos(4x) = cos(8x)

Теперь мы можем использовать свойства косинуса. Уравнение cos(4x) = cos(8x) имеет решение, если:

• 4x = 8x + 2kπ, где k - целое число
• 4x = -8x + 2kπ

Решим первое уравнение:

4x - 8x = 2kπ

-4x = 2kπ

x = -kπ/2

Теперь решим второе уравнение:

4x + 8x = 2kπ

12x = 2kπ

x = kπ/6

Теперь найдем корни в интервале (-0,25π; 0,5π).

Для x = -kπ/2:

• k = -1: x = 0,25π (входит в интервал)
• k = 0: x = 0 (входит в интервал)
• k = 1: x = -0,5π (не входит в интервал)

Для x = kπ/6:

• k = -1: x = -π/6 (входит в интервал)
• k = 0: x = 0 (входит в интервал)
• k = 1: x = π/6 (входит в интервал)
• k = 2: x = π/3 (входит в интервал)

Теперь соберем все корни, которые мы нашли:

• -π/6
• 0
• 0,25π
• π/6
• π/3

Теперь найдем сумму различных корней:

Сумма = -π/6 + 0 + 0,25π + π/6 + π/3.

Сначала преобразуем все корни к общему знаменателю:

• 0,25π = π/4 = 3π/12
• π/3 = 4π/12

Теперь сумма:

Сумма = (-2π/12) + (0) + (3π/12) + (2π/12) + (4π/12) = (7π/12).

Таким образом, сумма различных корней уравнения sin(3x) × sin(7x) = sin(x) × sin(9x) в интервале (-0,25π; 0,5π) равна 7π/12.