Какова сумма всех возможных значений p, при условии что p ≤ 100, если рассмотреть уравнение x/(1-x) = px^3/(1-x^3) для некоторого натурального p и подставить x = 1/q, где q - натуральное число, удовлетворяющее этому уравнению и q ≥ 2?

Алгебра 11 класс Рациональные уравнения алгебра 11 класс уравнение x/(1-x) сумма значений p натуральные числа решение уравнения x = 1/q значения q условия задачи Новый

Для решения данной задачи начнем с уравнения:

x/(1-x) = px^3/(1-x^3>

Подставим x = 1/q, где q - натуральное число, q ≥ 2. Таким образом, у нас получится:

1/q / (1 - 1/q) = p (1/q)^3 / (1 - (1/q)^3)

Упростим левую часть уравнения:

• 1/q / (1 - 1/q) = 1/q / (q-1)/q = 1/(q-1)

Теперь упростим правую часть:

• (1/q)^3 = 1/q^3
• 1 - (1/q)^3 = 1 - 1/q^3 = (q^3 - 1)/q^3
• Таким образом, p (1/q)^3 / (1 - (1/q)^3) = p (1/q^3) / ((q^3 - 1)/q^3) = p / (q^3 - 1)

Теперь подставим упрощенные части обратно в уравнение:

1/(q-1) = p / (q^3 - 1)

Перепишем уравнение, выразив p:

p = (q^3 - 1) / (q - 1)

Теперь упростим выражение для p. В числителе можно разложить q^3 - 1:

q^3 - 1 = (q - 1)(q^2 + q + 1)

Подставим это в выражение для p:

p = (q - 1)(q^2 + q + 1) / (q - 1)

При условии, что q ≠ 1, мы можем сократить (q - 1):

p = q^2 + q + 1

Теперь нам нужно найти все возможные значения p, при условии что p ≤ 100 и q - натуральное число, q ≥ 2.

Рассмотрим значения q, начиная с 2:

• q = 2: p = 2^2 + 2 + 1 = 7
• q = 3: p = 3^2 + 3 + 1 = 13
• q = 4: p = 4^2 + 4 + 1 = 21
• q = 5: p = 5^2 + 5 + 1 = 31
• q = 6: p = 6^2 + 6 + 1 = 43
• q = 7: p = 7^2 + 7 + 1 = 57
• q = 8: p = 8^2 + 8 + 1 = 73
• q = 9: p = 9^2 + 9 + 1 = 91
• q = 10: p = 10^2 + 10 + 1 = 111 (выходит за пределы 100)

Теперь мы можем перечислить все возможные значения p, которые удовлетворяют условию p ≤ 100:

• 7
• 13
• 21
• 31
• 43
• 57
• 73
• 91

Теперь найдем сумму всех этих значений:

7 + 13 + 21 + 31 + 43 + 57 + 73 + 91

Посчитаем сумму поэтапно:

• 7 + 13 = 20
• 20 + 21 = 41
• 41 + 31 = 72
• 72 + 43 = 115
• 115 + 57 = 172
• 172 + 73 = 245
• 245 + 91 = 336

Таким образом, сумма всех возможных значений p, при условии что p ≤ 100, равна:

336