Какова величина угла A треугольника ABC, если выполняется равенство sin^4 A = cos^4 A + 0.5?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения угол A треугольник ABC равенство sin^4 A cos^4 a алгебра 11 класс Новый

Для нахождения угла A треугольника ABC, где выполняется равенство sin^4 A = cos^4 A + 0.5, давайте начнем с преобразования данного уравнения.

Мы знаем, что sin^2 A + cos^2 A = 1. Обозначим:

• sin^2 A = x, тогда cos^2 A = 1 - x.

Теперь подставим эти значения в уравнение:

• sin^4 A = (sin^2 A)^2 = x^2,
• cos^4 A = (cos^2 A)^2 = (1 - x)^2.

Таким образом, уравнение принимает вид:

x^2 = (1 - x)^2 + 0.5.

Теперь раскроем скобки:

x^2 = 1 - 2x + x^2 + 0.5.

Упростим уравнение:

• x^2 - x^2 = 1 - 2x + 0.5,
• 0 = 1.5 - 2x.

Теперь решим это уравнение относительно x:

• 2x = 1.5,
• x = 0.75.

Мы нашли, что sin^2 A = 0.75. Теперь найдем sin A:

• sin A = √0.75 = √(3/4) = √3 / 2.

Теперь найдем cos A, используя соотношение sin^2 A + cos^2 A = 1:

• cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - 0.75 = 0.25,
• cos A = √0.25 = 0.5.

Теперь у нас есть значения для sin A и cos A:

• sin A = √3 / 2,
• cos A = 0.5.

Теперь мы можем найти угол A. Мы знаем, что:

• sin A = √3 / 2 соответствует углу 60° (или π/3 радиан),
• cos A = 0.5 также соответствует углу 60°.

Таким образом, угол A равен:

A = 60°.