Каково значение предела lim (x→0) tg(3x)/sin(2x)?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел lim x→0 tg(3x) sin(2x) алгебра 11 класс математика функции Тригонометрия Новый

Чтобы найти предел lim (x→0) tg(3x)/sin(2x), мы можем использовать некоторые свойства тригонометрических функций и пределы.

Начнем с того, что tg(3x) можно выразить через sin и cos:

• tg(3x) = sin(3x)/cos(3x).

Таким образом, наш предел можно переписать следующим образом:

• lim (x→0) tg(3x)/sin(2x) = lim (x→0) (sin(3x)/cos(3x)) / sin(2x).

Теперь упростим выражение:

• lim (x→0) (sin(3x) / (sin(2x) * cos(3x))).

Теперь мы можем использовать известные пределы:

• lim (x→0) (sin(kx)/x) = k, где k — это константа.

Применим это свойство к нашему пределу. Мы можем выразить sin(3x) и sin(2x) в виде:

• sin(3x) = 3x * (3x / sin(3x)),
• sin(2x) = 2x * (2x / sin(2x)).

Теперь заменим sin(3x) и sin(2x) в нашем пределе:

• lim (x→0) (3x * (3x / sin(3x))) / (2x * (2x / sin(2x)) * cos(3x)).

Теперь можно упростить это выражение:

• lim (x→0) (3/2) * (3x / sin(3x)) * (1/cos(3x)) * (1/(2x/sin(2x))).

Теперь мы знаем, что:

• lim (x→0) (3x / sin(3x)) = 3,
• lim (x→0) (2x / sin(2x)) = 2,
• lim (x→0) cos(3x) = 1.

Подставим эти пределы в наше выражение:

• lim (x→0) tg(3x)/sin(2x) = (3/2) * 3 * (1/1) * (1/2) = (3/2) * (3/2) = 9/4.

Таким образом, предел lim (x→0) tg(3x)/sin(2x) равен 9/4.