Каково значение предела lim((x-3)/(x+5))^(x-4) при x, стремящемся к бесконечности?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел лимит алгебра x стремится к бесконечности значение предела Новый

Чтобы найти предел lim((x-3)/(x+5))^(x-4) при x, стремящемся к бесконечности, давайте разберем этот предел поэтапно.

1. Исследуем дробь (x-3)/(x+5)

• Когда x стремится к бесконечности, числитель x-3 и знаменатель x+5 оба стремятся к бесконечности.
• Мы можем упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на x:
• (x-3)/x = 1 - 3/x и (x+5)/x = 1 + 5/x.
• Таким образом, (x-3)/(x+5) = (1 - 3/x) / (1 + 5/x).
• При x, стремящемся к бесконечности, 3/x и 5/x стремятся к 0, следовательно:
• lim (x-3)/(x+5) = 1.

2. Теперь подставим это значение в предел

• Мы имеем предел вида (1)^(x-4).
• Однако, чтобы правильно оценить этот предел, нужно учитывать, что (x-4) стремится к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности.
• Таким образом, мы имеем дело с формой 1^бесконечность, что требует дополнительного анализа.

3. Применим логарифмическое преобразование

• Обозначим y = ((x-3)/(x+5))^(x-4).
• Возьмем натуральный логарифм: ln(y) = (x-4) * ln((x-3)/(x+5)).
• Теперь найдем предел ln(y) при x, стремящемся к бесконечности:

4. Найдем предел ln((x-3)/(x+5))

• Как мы уже выяснили, (x-3)/(x+5) стремится к 1, следовательно, ln((x-3)/(x+5)) стремится к ln(1) = 0.
• Теперь, чтобы понять, как быстро ln((x-3)/(x+5)) стремится к 0, мы можем использовать разложение в ряд Тейлора:
• ln(1 + u) ≈ u для u, стремящегося к 0. В нашем случае u = (x-3)/(x+5) - 1 = -8/(x+5), когда x стремится к бесконечности.
• Таким образом, ln((x-3)/(x+5)) ≈ -8/(x+5), и мы можем подставить это в предел:

5. Теперь подставим это значение в предел ln(y)

• ln(y) = (x-4) * ln((x-3)/(x+5)) ≈ (x-4) * (-8/(x+5)).
• При x, стремящемся к бесконечности, это выражение становится:
• ln(y) ≈ -8 * (x-4)/(x+5) = -8 * (1 - 9/(x+5)) = -8 + O(1/x), что стремится к -8.

6. Возвращаемся к y

• Теперь мы можем найти y:
• y = e^(ln(y)) = e^(-8).

Таким образом, предел lim((x-3)/(x+5))^(x-4) при x, стремящемся к бесконечности равен e^(-8).