Каково значение выражения 25 в степени логарифма по основанию 125 от числа 8?

Алгебра 11 класс Логарифмы логарифм значение выражения алгебра 11 класс основание 125 число 8 степень 25 Новый

Чтобы найти значение выражения 25 в степени логарифма по основанию 125 от числа 8, давайте разберем это шаг за шагом.

1. Запишем выражение:

   Мы имеем выражение 25^(log_125(8)).

2. Преобразуем логарифм:

   Мы можем использовать изменение основания логарифма. Формула для изменения основания выглядит так:

   log_a(b) = log_c(b) / log_c(a),

   где c – любое положительное число, отличное от 1. В нашем случае мы можем выбрать основание 5.

   Итак, мы можем записать:

   log_125(8) = log_5(8) / log_5(125).

3. Вычислим log_5(8) и log_5(125):

   • log_5(125) = log_5(5^3) = 3.

   • log_5(8) = log_5(2^3) = 3 * log_5(2).

4. Подставим в выражение:

   Теперь подставим эти значения в формулу:

   log_125(8) = (3 * log_5(2)) / 3 = log_5(2).

5. Теперь подставим значение логарифма в исходное выражение:

   Теперь мы имеем 25^(log_5(2)).

6. Преобразуем 25:

   25 можно записать как 5^2. Подставим это в выражение:

   (5^2)^(log_5(2)).

7. Используем свойства степеней:

   По свойству степеней (a^m)^n = a^(m*n), мы можем переписать выражение:

   5^(2 * log_5(2)).

8. Используем свойства логарифмов:

   Теперь, используя свойство логарифмов, 2 * log_5(2) можно переписать как log_5(2^2) = log_5(4).

9. Получаем окончательное выражение:

   Таким образом, мы имеем 5^(log_5(4)).

   По свойству логарифмов, a^(log_a(b)) = b, мы получаем:

   5^(log_5(4)) = 4.

Ответ: Значение выражения 25 в степени логарифма по основанию 125 от числа 8 равно 4.