Для решения данного выражения начнем с упрощения числителя и знаменателя отдельно. Мы имеем:

Числитель: log₅² 15 - log₅² 3 + 2 log₅ 15 + 2 log₅ 3

Используем свойство логарифмов: log₅² a = (log₅ a)². Подставим это в числитель:

• (log₅ 15)² - (log₅ 3)² + 2 log₅ 15 + 2 log₅ 3

Теперь заметим, что (log₅ 15)² - (log₅ 3)² можно представить как разность квадратов:

(a² - b²) = (a - b)(a + b), где a = log₅ 15, b = log₅ 3. Подставим:

• (log₅ 15 - log₅ 3)(log₅ 15 + log₅ 3) + 2 log₅ 15 + 2 log₅ 3

Теперь мы можем вынести общий множитель 2 из последних двух слагаемых:

• (log₅ 15 - log₅ 3)(log₅ 15 + log₅ 3) + 2(log₅ 15 + log₅ 3)

Теперь выделим общий множитель (log₅ 15 + log₅ 3):

• (log₅ 15 + log₅ 3) [(log₅ 15 - log₅ 3) + 2]

Таким образом, числитель можно записать как:

• (log₅ 15 + log₅ 3) [(log₅ 15 - log₅ 3) + 2]

Знаменатель: log₅ 15 + log₅ 3

Теперь подставим это в изначальное выражение:

• ((log₅ 15 + log₅ 3) [(log₅ 15 - log₅ 3) + 2]) / (log₅ 15 + log₅ 3)

Если log₅ 15 + log₅ 3 не равно нулю, то мы можем сократить его в числителе и знаменателе:

• (log₅ 15 - log₅ 3) + 2

Теперь у нас есть:

log₅ 15 - log₅ 3 + 2 = log₅(15/3) + 2 = log₅ 5 + 2

Теперь мы можем выразить это в более простой форме:

log₅ 5 = 1 (поскольку 5 в степени 1 равно 5), поэтому:

• 1 + 2 = 3

Таким образом, значение выражения равно 3.

Ответ: C) 3