Каково значение выражения: sin225° * cos105° + cos315° * sin285°?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства значение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции sin 225 градусов cos 105 градусов cos 315 градусов sin 285 градусов Новый

Чтобы найти значение выражения sin225° * cos105° + cos315° * sin285°, мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами и значениями углов. Давайте разложим это выражение по шагам.

1. Вычислим sin225°:
   • Угол 225° находится во III квадранте, где синус отрицательный.
   • sin225° = sin(180° + 45°) = -sin45° = -√2/2.
2. Вычислим cos105°:
   • Угол 105° находится во II квадранте, где косинус отрицательный.
   • cos105° = cos(90° + 15°) = -sin15°.
   • Значение sin15° можно найти по формуле: sin15° = sin(45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2)/4.
   • Следовательно, cos105° = -sin15° = -(√6 - √2)/4.
3. Теперь найдем sin225° * cos105°:
   • Подставим найденные значения: sin225° * cos105° = (-√2/2) * (-(√6 - √2)/4).
   • Упрощаем: = (√2/2) * ((√6 - √2)/4) = (√2(√6 - √2))/8.
4. Теперь вычислим cos315°:
   • Угол 315° находится в IV квадранте, где косинус положительный.
   • cos315° = cos(360° - 45°) = cos45° = √2/2.
5. Вычислим sin285°:
   • Угол 285° находится в IV квадранте, где синус отрицательный.
   • sin285° = sin(360° - 75°) = -sin75°.
   • Значение sin75° можно найти по формуле: sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.
   • Следовательно, sin285° = -(√6 + √2)/4.
6. Теперь найдем cos315° * sin285°:
   • Подставим найденные значения: cos315° * sin285° = (√2/2) * (-(√6 + √2)/4).
   • Упрощаем: = -(√2(√6 + √2))/8.
7. Теперь сложим оба результата:
   • Итак, у нас есть: (√2(√6 - √2))/8 - (√2(√6 + √2))/8.
   • Объединяем: = (√2(√6 - √2 - √6 - √2))/8 = (√2(-2√2))/8 = -2/8 = -1/4.

Итак, значение выражения sin225° * cos105° + cos315° * sin285° равно -1/4.