Каковы корни уравнения cos(pi/2 - 3x/2) = √3/2, которые находятся в полуинтервале [3pi/2; 2pi)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения корни уравнения алгебра 11 класс cos(pi/2 - 3x/2) √3/2 полуинтервал [3pi/2; 2pi) Новый

Чтобы найти корни уравнения cos(pi/2 - 3x/2) = √3/2 в полуинтервале [3pi/2; 2pi), начнем с преобразования левой части уравнения.

Используем тригонометрическую идентичность: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). В нашем случае:

• a = pi/2
• b = 3x/2

Поэтому у нас будет:

cos(pi/2 - 3x/2) = cos(pi/2)cos(3x/2) + sin(pi/2)sin(3x/2).

Так как cos(pi/2) = 0 и sin(pi/2) = 1, уравнение упрощается до:

0 * cos(3x/2) + 1 * sin(3x/2) = sin(3x/2).

Таким образом, уравнение можно переписать как:

sin(3x/2) = √3/2.

Теперь найдем, при каких значениях аргумента sin(3x/2) равно √3/2. Мы знаем, что sin(π/3) = √3/2. Таким образом, у нас есть два основных решения:

• 3x/2 = π/3 + 2kπ, где k - целое число;
• 3x/2 = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь решим каждое из этих уравнений для x.

1. Для первого уравнения:
• 3x/2 = π/3 + 2kπ
• x = (2/3)(π/3 + 2kπ) = (2π/9) + (4kπ/3).
2. Для второго уравнения:
• 3x/2 = 2π/3 + 2kπ
• x = (2/3)(2π/3 + 2kπ) = (4π/9) + (4kπ/3).

Теперь нам нужно найти значения x в полуинтервале [3pi/2; 2pi).

Рассмотрим k = 0:

• Для первого уравнения: x = 2π/9, что меньше 3π/2.
• Для второго уравнения: x = 4π/9, что также меньше 3π/2.

Теперь рассмотрим k = 1:

• Для первого уравнения: x = (2π/9) + (4π/3) = (2π/9) + (12π/9) = 14π/9, что больше 3π/2, но меньше 2π.
• Для второго уравнения: x = (4π/9) + (4π/3) = (4π/9) + (12π/9) = 16π/9, что также больше 3π/2, но меньше 2π.

Теперь проверим, входят ли эти значения в заданный интервал:

• 14π/9 = 1.555...π, что примерно равно 4.89, что меньше 2π (около 6.28).
• 16π/9 = 1.777...π, что примерно равно 5.49, что также меньше 2π.

Таким образом, корни уравнения cos(pi/2 - 3x/2) = √3/2 в полуинтервале [3pi/2; 2pi) это:

• x = 14π/9
• x = 16π/9