Каковы максимальное и минимальное значения функции y=2x^3+3x^2-12x-1 на интервале [-1;2]?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций на отрезке максимальное значение функции минимальное значение функции интервал [-1;2] алгебра 11 класс анализ функции вычисление экстремумов Новый

Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1 на заданном интервале [-1; 2], нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

1. Найдем производную функции.

   Для этого сначала найдем производную y по x:

   y' = 6x^2 + 6x - 12.

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Уравняем производную нулю:

   6x^2 + 6x - 12 = 0.

   Упростим уравнение, разделив на 6:

   x^2 + x - 2 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -2.

   Подставляем значения:

   x = (-1 ± √(1 + 8)) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   • x1 = 1
   • x2 = -2
3. Определим, какие из критических точек лежат в интервале [-1; 2].

   Критическая точка x1 = 1 лежит в интервале, а x2 = -2 — вне интервала.

4. Теперь находим значения функции в критических точках и на границах интервала.

   Нам нужно вычислить значение функции в точках x = -1, x = 1 и x = 2:

   • Для x = -1:

     y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12.

   • Для x = 1:

     y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = -8.

   • Для x = 2:

     y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3.

5. Сравним полученные значения.

   Теперь у нас есть следующие значения:

   • y(-1) = 12
   • y(1) = -8
   • y(2) = 3

   Максимальное значение функции на интервале [-1; 2] равно 12, а минимальное значение равно -8.

Ответ: Максимальное значение функции на интервале [-1; 2] равно 12, минимальное значение равно -8.