Каковы наименьшее и наибольшее значения функции y = x^2 * e^x на следующих отрезках:

1. А) [-3;1]
2. б) [1;3]

Алгебра 11 класс Экстремумы функций на отрезке наименьшее значение функции Наибольшее значение функции y = x^2 * e^x отрезки [-3;1] отрезки [1;3] алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции y = x^2 * e^x на заданных отрезках, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

   Сначала мы найдем производную функции y. Используем правило произведения:

   y' = (x^2)' * e^x + x^2 * (e^x)'.

   Производная x^2 равна 2x, а производная e^x равна e^x. Подставим это в формулу:

   y' = 2x * e^x + x^2 * e^x = e^x(2x + x^2).

2. Найти критические точки.

   Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   e^x(2x + x^2) = 0.

   Поскольку e^x никогда не равен нулю, мы решаем уравнение:

   2x + x^2 = 0.

   Факторизуем:

   x(2 + x) = 0.

   Это дает нам две критические точки: x = 0 и x = -2.

3. Определить значения функции на границах отрезка и в критических точках.

   Теперь нам нужно найти значения функции y на границах отрезков и в критических точках:

   • Для отрезка A) [-3; 1]:
   • y(-3) = (-3)^2 * e^(-3) = 9/e^3;
   • y(0) = 0^2 * e^0 = 0;
   • y(1) = 1^2 * e^1 = e.
   • Для отрезка B) [1; 3]:
   • y(1) = 1^2 * e^1 = e;
   • y(2) = 2^2 * e^2 = 4e^2;
   • y(3) = 3^2 * e^3 = 9e^3.
4. Сравнить значения и определить наименьшее и наибольшее.

   Теперь сравним значения:

   • На отрезке A) [-3; 1]:
   • y(-3) = 9/e^3;
   • y(0) = 0;
   • y(1) = e.
   • Наименьшее значение: 0 (при x = 0);
   • Наибольшее значение: e (при x = 1).
   • На отрезке B) [1; 3]:
   • y(1) = e;
   • y(2) = 4e^2;
   • y(3) = 9e^3.
   • Наименьшее значение: e (при x = 1);
   • Наибольшее значение: 9e^3 (при x = 3).

Таким образом, мы нашли наименьшие и наибольшие значения функции на заданных отрезках:

• A) На отрезке [-3; 1]: наименьшее значение 0, наибольшее значение e.
• B) На отрезке [1; 3]: наименьшее значение e, наибольшее значение 9e^3.