Каковы максимальное и минимальное значения функции y(x) = x + 1/x на интервале [0,5; 2]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальные значения функции минимальные значения функции y(x) = x + 1/x интервал [0,5; 2] алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции y(x) = x + 1/x на заданном интервале [0,5; 2], нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение области определения функции

Функция y(x) = x + 1/x определена для всех x, кроме x = 0, так как в этом случае происходит деление на ноль. Однако, так как наш интервал начинается с 0,5, мы можем игнорировать эту точку.

Шаг 2: Нахождение производной функции

Чтобы найти экстремумы функции, нам нужно вычислить её производную и приравнять её к нулю:

y'(x) = 1 - 1/x^2

Теперь приравняем производную к нулю:

1 - 1/x^2 = 0

1 = 1/x^2

x^2 = 1

x = 1 (так как x > 0 на нашем интервале).

Шаг 3: Проверка значений функции на краевых точках и в точке экстремума

Теперь нам нужно оценить значения функции в точках x = 0,5, x = 1 и x = 2:

• y(0,5) = 0,5 + 1/0,5 = 0,5 + 2 = 2,5
• y(1) = 1 + 1/1 = 1 + 1 = 2
• y(2) = 2 + 1/2 = 2 + 0,5 = 2,5

Шаг 4: Сравнение значений

Теперь сравним полученные значения:

• y(0,5) = 2,5
• y(1) = 2
• y(2) = 2,5

Минимальное значение функции на интервале [0,5; 2] равно 2 (при x = 1), а максимальное значение равно 2,5 (при x = 0,5 и x = 2).

Ответ:

Минимальное значение: 2 при x = 1

Максимальное значение: 2,5 при x = 0,5 и x = 2