Каковы пределы следующих выражений?

1. lim tg(3-x) / (2+x) при x->2
2. lim (x^2 - 2x - 9) / (x^3 + 1) при x->-1

Алгебра 11 класс Пределы функций пределы выражений предел tg(3-x) предел (x^2 - 2x - 9) Новый

Чтобы найти пределы данных выражений, мы будем использовать подстановку значений и, при необходимости, правила Лопиталя.

Первое выражение: lim tg(3-x) / (2+x) при x -> 2

1. Подставим x = 2 в выражение:
• tg(3 - 2) = tg(1)
• 2 + 2 = 4
2. Таким образом, мы получаем:
• lim tg(3 - x) / (2 + x) = tg(1) / 4
3. tg(1) - это просто число, поэтому предел равен:
• tg(1) / 4

Второе выражение: lim (x^2 - 2x - 9) / (x^3 + 1) при x -> -1

1. Подставим x = -1 в выражение:
• -1^2 - 2*(-1) - 9 = 1 + 2 - 9 = -6
• -1^3 + 1 = -1 + 1 = 0
2. Мы получаем неопределенность вида -6 / 0, что указывает на вертикальную асимптоту. Поэтому мы применим правило Лопиталя:
• Найдем производные числителя и знаменателя:
• Производная числителя: 2x - 2
• Производная знаменателя: 3x^2
3. Теперь найдем предел:
• lim (2x - 2) / (3x^2) при x -> -1
• Подставляем x = -1:
• 2*(-1) - 2 = -2 - 2 = -4
• 3*(-1)^2 = 3
4. Таким образом, предел равен:
• -4 / 3

Ответы:

• lim tg(3-x) / (2+x) при x -> 2 = tg(1) / 4
• lim (x^2 - 2x - 9) / (x^3 + 1) при x -> -1 = -4 / 3