Каковы радиус основания и высота открытого цилиндрического чана объемом V = 27π (м³), чтобы минимизировать количество используемого материала для его изготовления?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций радиус основания цилиндра высота цилиндрического чана объём цилиндра минимизация материала алгебра 11 класс Новый

Для решения задачи о минимизации количества материала, используемого для изготовления открытого цилиндрического чана, необходимо определить радиус основания (r) и высоту (h) цилиндра, при этом объем (V) остается постоянным и равен 27π м³.

Шаг 1: Запишем формулу для объема цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

V = πr²h

Подставим известное значение объема:

27π = πr²h

Шаг 2: Упростим уравнение.

Разделим обе стороны уравнения на π:

27 = r²h

Шаг 3: Выразим h через r.

Из уравнения выше выразим h:

h = 27/r²

Шаг 4: Запишем формулу для площади поверхности цилиндра.

Поскольку чан открыт, площадь поверхности (S) цилиндра будет равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

S = πr² + 2πrh

Шаг 5: Подставим выражение для h в формулу площади.

Теперь подставим h = 27/r² в формулу для площади:

S = πr² + 2πr(27/r²)

S = πr² + 54π/r

Шаг 6: Найдем производную площади S по r и приравняем её к нулю.

Чтобы минимизировать площадь, найдем производную S:

S' = 2πr - 54π/r²

Приравняем производную к нулю:

2πr - 54π/r² = 0

Шаг 7: Упростим уравнение.

Уберем π (так как оно не равно нулю):

2r - 54/r² = 0

2r³ - 54 = 0

r³ = 27

r = 3

Шаг 8: Найдем высоту h.

Теперь, когда мы знаем радиус, можем найти высоту:

h = 27/r² = 27/3² = 27/9 = 3

Итак, ответ:

• Радиус основания r = 3 м
• Высота h = 3 м

Таким образом, радиус основания и высота открытого цилиндрического чана, которые минимизируют количество используемого материала, равны 3 метрам.