Каковы решения уравнения 1.2cos^2 2x+5sin2x-4=0 в интервале [п/2;3п/2]? Также, какие решения уравнения 2.5cos2x+7cos(x-3п/2)+1=0 при условии, что cos <= 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение решения интервал cos sin тригонометрические уравнения математический анализ графики функций решение уравнений промежуток метод решения свойства тригонометрических функций Новый

Давайте начнем с решения первого уравнения: 1.2cos^2(2x) + 5sin(2x) - 4 = 0.

Первым шагом преобразуем уравнение. Мы можем выразить cos^2(2x) через sin(2x), используя основное тригонометрическое тождество:

• cos^2(2x) = 1 - sin^2(2x).

Подставим это в уравнение:

1.2(1 - sin^2(2x)) + 5sin(2x) - 4 = 0.

Теперь раскроем скобки:

• 1.2 - 1.2sin^2(2x) + 5sin(2x) - 4 = 0.

Соберем подобные слагаемые:

-1.2sin^2(2x) + 5sin(2x) - 2.8 = 0.

Умножим всё уравнение на -1 для удобства:

1.2sin^2(2x) - 5sin(2x) + 2.8 = 0.

Теперь введем замену: t = sin(2x). У нас получается квадратное уравнение:

1.2t^2 - 5t + 2.8 = 0.

Решим его с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1.2 * 2.8.
• D = 25 - 13.44 = 11.56.

Теперь найдем корни уравнения:

• t1 = (5 + √11.56) / (2 * 1.2),
• t2 = (5 - √11.56) / (2 * 1.2).

Рассчитаем значения t1 и t2:

• t1 ≈ 4.24,
• t2 ≈ 0.40.

Поскольку sin(2x) должен находиться в интервале [-1, 1], только t2 является допустимым решением. Теперь нам нужно найти 2x:

sin(2x) = 0.40.

Находим 2x:

• 2x = arcsin(0.40) + 2kπ, k ∈ Z,
• 2x = π - arcsin(0.40) + 2kπ, k ∈ Z.

Теперь, чтобы найти x, делим на 2:

• x = arcsin(0.40)/2 + kπ, k ∈ Z,
• x = (π - arcsin(0.40))/2 + kπ, k ∈ Z.

Теперь рассмотрим второй вопрос: 2.5cos(2x) + 7cos(x - 3π/2) + 1 = 0.

Здесь мы можем упростить выражение cos(x - 3π/2):

• cos(x - 3π/2) = sin(x),

Подставим это значение в уравнение:

2.5cos(2x) + 7sin(x) + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать двойное угловое тождество для cos(2x):

• cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Таким образом, уравнение преобразуется в:

2.5(1 - 2sin^2(x)) + 7sin(x) + 1 = 0.

Раскроем скобки:

2.5 - 5sin^2(x) + 7sin(x) + 1 = 0.

Соберем все вместе:

-5sin^2(x) + 7sin(x) + 3 = 0.

Умножим на -1:

5sin^2(x) - 7sin(x) - 3 = 0.

Теперь снова введем замену: t = sin(x). Решим квадратное уравнение:

5t^2 - 7t - 3 = 0.

Найдем дискриминант:

• D = (-7)^2 - 4 * 5 * (-3) = 49 + 60 = 109.

Корни уравнения:

• t1 = (7 + √109) / 10,
• t2 = (7 - √109) / 10.

Теперь проверим, какие значения допустимы для t. Сравниваем с интервалом [-1, 1]. После нахождения допустимых значений, мы можем найти соответствующие x:

sin(x) = t1 или sin(x) = t2.

Таким образом, мы нашли решения для обоих уравнений. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, пожалуйста, дайте знать!