Похожие вопросы
2025-10-19 16:29:10
Каковы результаты вычислений для следующих выражений: a) cos (arcsin(4/5)) b) sin (2 * arcsin(1/4)) c) cos (arcsin(3/5) - arccos(5/15)) d) sin (arccos(1/3) * arctg(2/3)?
Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их обратные алгебра 11 класс тригонометрические функции вычисление выражений cos arcsin sin arcsin arccos arctg математические выражения
2025-10-19 16:29:28
Давайте разберем каждое из предложенных выражений по порядку и найдем их значения.
a) cos(arcsin(4/5))Для нахождения значения этого выражения, воспользуемся тригонометрической идентичностью. Если x = arcsin(4/5), то sin(x) = 4/5. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения cos(x):
- sin^2(x) + cos^2(x) = 1
- (4/5)^2 + cos^2(x) = 1
- 16/25 + cos^2(x) = 1
- cos^2(x) = 1 - 16/25 = 9/25
- cos(x) = √(9/25) = 3/5
Таким образом, cos(arcsin(4/5)) = 3/5.
b) sin(2 * arcsin(1/4))Для этого выражения воспользуемся формулой удвоенного угла: sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x). Пусть x = arcsin(1/4), тогда sin(x) = 1/4. Теперь найдем cos(x):
- sin^2(x) + cos^2(x) = 1
- (1/4)^2 + cos^2(x) = 1
- 1/16 + cos^2(x) = 1
- cos^2(x) = 1 - 1/16 = 15/16
- cos(x) = √(15/16) = √15/4
Теперь подставим значения в формулу:
- sin(2x) = 2 * (1/4) * (√15/4) = 2√15/16 = √15/8
Таким образом, sin(2 * arcsin(1/4)) = √15/8.
c) cos(arcsin(3/5) - arccos(5/15))Для этого выражения воспользуемся формулой разности косинусов: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).
Пусть a = arcsin(3/5) и b = arccos(5/15). Сначала найдем cos(a) и sin(a):
- sin(a) = 3/5
- cos^2(a) = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25
- cos(a) = 4/5
Теперь найдем b:
- cos(b) = 5/15 = 1/3
- sin^2(b) = 1 - (1/3)^2 = 1 - 1/9 = 8/9
- sin(b) = √(8/9) = 2√2/3
Теперь подставим значения в формулу:
- cos(a - b) = (4/5)(1/3) + (3/5)(2√2/3) = 4/15 + 6√2/15 = (4 + 6√2)/15
Таким образом, cos(arcsin(3/5) - arccos(5/15)) = (4 + 6√2)/15.
d) sin(arccos(1/3) * arctg(2/3))Сначала найдем значение arccos(1/3). Обозначим x = arccos(1/3), тогда cos(x) = 1/3. Найдем sin(x):
- sin^2(x) + cos^2(x) = 1
- sin^2(x) + (1/3)^2 = 1
- sin^2(x) + 1/9 = 1
- sin^2(x) = 1 - 1/9 = 8/9
- sin(x) = √(8/9) = 2√2/3
Теперь найдем значение arctg(2/3). Пусть y = arctg(2/3), тогда tg(y) = 2/3. Мы можем найти sin(y) и cos(y):
- sin(y) = 2/√(2^2 + 3^2) = 2/√13
- cos(y) = 3/√(2^2 + 3^2) = 3/√13
Теперь мы можем вычислить sin(x * y) с использованием формулы:
- sin(x * y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) = (2√2/3)(3/√13) + (1/3)(2/√13)
- sin(x * y) = (2√2/√13) + (2/3√13) = (6√2 + 2)/3√13
Таким образом, sin(arccos(1/3) * arctg(2/3)) = (6√2 + 2)/3√13.
Итак, мы нашли результаты для всех выражений:
- a) 3/5
- b) √15/8
- c) (4 + 6√2)/15
- d) (6√2 + 2)/3√13