Каковы все значения a, при каждом из которых квадрат разности различных действительных корней трехчлена ax^2 - 4x + 3a + 1 меньше 8?

Алгебра 11 класс Неравенства с параметрами значения a квадрат разности действительные корни трехчлен ax^2 - 4x + 3a + 1 меньше 8 Новый

Для решения задачи необходимо рассмотреть квадрат разности различных действительных корней трехчлена, заданного уравнением:

ax^2 - 4x + 3a + 1 = 0

Сначала найдем корни этого уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

x1,2 = ( -b ± √(b² - 4ac) ) / 2a

В нашем случае:

• a = a
• b = -4
• c = 3a + 1

Подставим эти значения в формулу:

x1,2 = (4 ± √((-4)² - 4 * a * (3a + 1))) / (2a)

Упрощая, получаем:

x1,2 = (4 ± √(16 - 12a^2 - 4a)) / (2a)

Теперь, чтобы корни были действительными и различными, необходимо, чтобы дискриминант был положительным:

16 - 12a^2 - 4a > 0

Решаем неравенство:

1. Приведем его к стандартному виду:

-12a^2 - 4a + 16 > 0

2. Умножим на -1 (не меняя знак неравенства):

12a^2 + 4a - 16 < 0

3. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где:

• a = 12
• b = 4
• c = -16

Подставляем:

a = (-4 ± √(4² - 4 * 12 * (-16))) / (2 * 12)

a = (-4 ± √(16 + 768)) / 24

a = (-4 ± √784) / 24

a = (-4 ± 28) / 24

Таким образом, корни:

• a1 = (24) / 24 = 1
• a2 = (-32) / 24 = -4/3

Теперь мы имеем корни уравнения 12a^2 + 4a - 16 = 0, которые равны -4/3 и 1. Для определения промежутков, в которых неравенство выполняется, исследуем знак квадратного трехчлена:

Рассмотрим промежутки:

• a < -4/3
• -4/3 < a < 1
• a > 1

Проверим знаки в этих промежутках:

• Для a < -4/3, например, a = -2: 12(-2)^2 + 4(-2) - 16 > 0
• Для -4/3 < a < 1, например, a = 0: 12(0)^2 + 4(0) - 16 < 0
• Для a > 1, например, a = 2: 12(2)^2 + 4(2) - 16 > 0

Таким образом, неравенство выполняется на промежутке:

-4/3 < a < 1

Теперь, чтобы найти квадрат разности корней, используем формулу:

(x1 - x2)² = ((4 + √(D)) - (4 - √(D)))² / (2a)² = (2√D / (2a))² = D / a²

Где D = 16 - 12a^2 - 4a. Теперь нам нужно, чтобы:

D / a² < 8

Что эквивалентно:

D < 8a²

Подставим D:

16 - 12a^2 - 4a < 8a²

Упрощаем:

16 - 20a^2 - 4a < 0

Получаем новое квадратное неравенство:

20a^2 + 4a - 16 > 0

Решаем это неравенство аналогично предыдущему, находим корни и исследуем знаки. В результате мы получаем, что:

a < -2 или a > 0.4

В заключение, совмещая оба условия, мы приходим к окончательному ответу:

-4/3 < a < -2 или 0.4 < a < 1

Таким образом, все значения a, при которых квадрат разности различных действительных корней трехчлена меньше 8, находятся в интервале:

(-4/3, -2) U (0.4, 1)