При каких значениях параметра p неравенство (p-1)x^2 + 2px + 3p - 2 > 0 выполняется для всех значений x?

Алгебра 11 класс Неравенства с параметрами неравенство алгебра 11 значения параметра p квадратное неравенство решения неравенств математический анализ параметры в неравенствах Новый

Для того чтобы неравенство (p-1)x² + 2px + 3p - 2 > 0 выполнялось для всех значений x, необходимо, чтобы квадратный трёхчлен (p-1)x² + 2px + (3p - 2) был положительно определённым. Это означает, что его дискриминант должен быть меньше нуля, а коэффициент при x² должен быть положительным.

Рассмотрим данный трёхчлен:

1. Определим коэффициенты:

• a = p - 1
• b = 2p
• c = 3p - 2

2. Условие для положительности коэффициента a:

Чтобы a = p - 1 было положительным, нужно:

• p - 1 > 0
• p > 1

3. Условие для дискриминанта:

Дискриминант D трёхчлена равен:

D = b² - 4ac = (2p)² - 4(p - 1)(3p - 2).

Теперь подставим значения:

• D = 4p² - 4[(p - 1)(3p - 2)]
• D = 4p² - 4[(3p² - 2p - 3p + 2)]
• D = 4p² - 4(3p² - 5p + 2)
• D = 4p² - 12p² + 20p - 8
• D = -8p² + 20p - 8.

Теперь нам нужно, чтобы D < 0:

-8p² + 20p - 8 < 0.

4. Решим неравенство:

Для решения этого квадратного неравенства, сначала найдем корни уравнения -8p² + 20p - 8 = 0:

• Корни находятся по формуле: p = (-b ± √D) / 2a, где D = b² - 4ac.
• В нашем случае: a = -8, b = 20, c = -8.
• D = 20² - 4*(-8)*(-8) = 400 - 256 = 144.
• Корни: p = (20 ± √144) / (2 * -8) = (20 ± 12) / -16.

Находим два корня:

• p1 = (20 + 12) / -16 = 32 / -16 = -2;
• p2 = (20 - 12) / -16 = 8 / -16 = -0.5.

Теперь у нас есть два корня: p1 = -2 и p2 = -0.5. Квадратный трёхчлен -8p² + 20p - 8 открывается вниз, следовательно, он будет меньше нуля между корнями:

-2 < p < -0.5.

5. Объединяем условия:

Теперь мы имеем два условия:

• p > 1 (условие для положительности a);
• -2 < p < -0.5 (условие для D < 0).

Эти два условия не пересекаются, поэтому нет значений p, при которых неравенство (p-1)x² + 2px + 3p - 2 > 0 выполняется для всех x.

Ответ: Не существует значений параметра p, при которых неравенство выполняется для всех x.