При каких значениях параметра a неравенство (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7)≤a верно для всех x?

Алгебра 11 класс Неравенства с параметрами неравенство параметры алгебра 11 класс значения a решение неравенств дробно-рациональные математический анализ Новый

Чтобы решить неравенство (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7)≤a для всех x, начнем с того, что необходимо привести его к более удобному виду. Мы можем переписать неравенство следующим образом:

(8x^2−20x+16) ≤ a(4x^2+10x+7)

Теперь перенесем все в одну сторону:

(8x^2−20x+16) - a(4x^2+10x+7) ≤ 0

Раскроем скобки:

8x^2 - 20x + 16 - 4ax^2 - 10ax - 7a ≤ 0

Соберем подобные члены:

((8 - 4a)x^2 + (-20 - 10a)x + (16 - 7a)) ≤ 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Чтобы оно выполнялось для всех x, необходимо, чтобы его дискриминант был меньше или равен нулю, а также чтобы коэффициент при x^2 был не положительным.

Обозначим:

• A = 8 - 4a
• B = -20 - 10a
• C = 16 - 7a

Теперь найдем дискриминант D:

D = B^2 - 4AC

Подставим значения:

D = (-20 - 10a)^2 - 4(8 - 4a)(16 - 7a)

Раскроем скобки:

• D = (400 + 400a + 100a^2) - 4((8*16) - (8*7a) - (4a*16) + (4a*7a))

Вычислим 4((8*16) - (8*7a) - (4a*16) + (4a*7a)):

• 4(128 - 56a - 64a + 28a^2) = 4(128 - 120a + 28a^2)
• = 512 - 480a + 112a^2

Теперь подставим это значение в D:

D = 400 + 400a + 100a^2 - (512 - 480a + 112a^2)

Упростим:

• D = 400 + 400a + 100a^2 - 512 + 480a - 112a^2
• D = -12a^2 + 880a - 112

Теперь для того, чтобы D ≤ 0, нужно найти корни уравнения:

-12a^2 + 880a - 112 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D1 = 880^2 - 4*(-12)*(-112)

D1 = 774400 - 5376 = 769024

Теперь найдем корни:

a1,2 = (880 ± √769024) / (2 * -12)

Корни у нас будут:

• a1 = (880 + √769024) / -24
• a2 = (880 - √769024) / -24

После нахождения корней, мы можем определить интервал, в котором D ≤ 0. Также не забываем, что для того, чтобы неравенство выполнялось для всех x, необходимо, чтобы A ≤ 0, то есть:

8 - 4a ≤ 0

4a ≥ 8

a ≥ 2

Таким образом, для того чтобы неравенство выполнялось для всех x, необходимо, чтобы:

a ≥ 2