Каковы все значения параметра a, при которых неравенство -1 < cos x (cos 2x - a - 1) < 1 выполняется для всех действительных значений x?

Алгебра 11 класс Неравенства с параметрами значения параметра a неравенство cos x cos 2x действительные значения x алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить неравенство -1 < cos x (cos 2x - a - 1) < 1 для всех действительных значений x, начнем с анализа выражения внутри неравенства.

Сначала заметим, что cos 2x можно выразить через cos x:

• cos 2x = 2cos² x - 1.

Подставим это выражение в неравенство:

-1 < cos x ((2cos² x - 1) - a - 1) < 1.

Упрощаем:

• cos x (2cos² x - a - 2).

Теперь неравенство можно записать как:

-1 < cos x (2cos² x - a - 2) < 1.

Рассмотрим два отдельных неравенства:

1. cos x (2cos² x - a - 2) > -1
2. cos x (2cos² x - a - 2) < 1

1. Для первого неравенства:

cos x может принимать значения от -1 до 1. Чтобы неравенство выполнялось для всех x, необходимо, чтобы выражение (2cos² x - a - 2) было таким, чтобы произведение с cos x не давало значения меньше -1.

Когда cos x = 1, получаем:

1 * (2*1² - a - 2) > -1, что приводит к:

2 - a - 2 > -1, т.е. -a > -1, отсюда a < 1.

Когда cos x = -1, получаем:

-1 * (2*(-1)² - a - 2) > -1, что приводит к:

-1 * (2 - a - 2) > -1, т.е. a > 1.

Таким образом, первое неравенство выполняется при a = 1.

2. Для второго неравенства:

cos x (2cos² x - a - 2) < 1.

Когда cos x = 1, получаем:

1 * (2*1² - a - 2) < 1, что приводит к:

2 - a - 2 < 1, т.е. -a < 1, отсюда a > -1.

Когда cos x = -1, получаем:

-1 * (2*(-1)² - a - 2) < 1, что приводит к:

-1 * (2 - a - 2) < 1, т.е. a < 1.

Таким образом, второе неравенство выполняется при -1 < a < 1.

Теперь обобщим результаты:

Неравенство -1 < cos x (cos 2x - a - 1) < 1 будет выполняться для всех x, если:

• -1 < a < 1.

Итак, все значения параметра a, при которых неравенство выполняется для всех действительных значений x, это:

-1 < a < 1.