Давайте рассмотрим каждое из данных выражений и вычислим их значения шаг за шагом.

Для вычисления этого выражения мы можем использовать формулу произведения косинусов:

• cos A cos B = 0.5 (cos(A+B) + cos(A-B))

Подставим A = 55° и B = 20°:

• cos 55° cos 20° = 0.5 (cos(55° + 20°) + cos(55° - 20°) = 0.5 (cos 75° + cos 35°)

Теперь найдем значения:

• cos 75° = √3/2 - 1/2
• cos 35° = √3/2 + 1/2

Таким образом, значение выражения будет равно 0.5(√3/2 - 1/2 + √3/2 + 1/2) = 0.5(√3).

Мы можем использовать формулу суммы синусов:

• sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Подставим A = 105° и B = 75°:

• sin 105° + sin 75° = 2 sin((105° + 75°)/2) cos((105° - 75°)/2)
• sin 105° + sin 75° = 2 sin(90°) cos(15°) = 2 * 1 * cos(15°) = 2 cos(15°).

Используем формулу разности синусов:

• sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Подставляем значения:

• sin 105° - sin 75° = 2 cos((105° + 75°)/2) sin((105° - 75°)/2) = 2 cos(90°) sin(15°) = 0.

Используем ту же формулу, что и в предыдущем случае:

• sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Подставим A = 11π/12 и B = 5π/12:

• sin(11π/12) + sin(5π/12) = 2 sin((11π/12 + 5π/12)/2) cos((11π/12 - 5π/12)/2)
• sin(11π/12) + sin(5π/12) = 2 sin(8π/12) cos(3π/12) = 2 sin(2π/3) cos(π/4).

Значения:

• sin(2π/3) = √3/2
• cos(π/4) = √2/2

Итак, значение выражения равно √3.

В этом случае мы можем использовать формулу:

• cos A + sin B = √2 cos(A - π/4)

Подставим A = π/12 и B = 7π/12:

• cos(π/12) + sin(7π/12) = √2 cos(π/12 - π/4) = √2 cos(-π/6) = √2 * (√3/2) = √6/2.

Используем формулу суммы косинусов:

• cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Подставляем A = 97° и B = 83°:

• cos 97° + cos 83° = 2 cos((97° + 83°)/2) cos((97° - 83°)/2) = 2 cos(90°) cos(7°) = 0.

Используем формулу разности косинусов:

• cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Подставляем значения:

• cos 105° - cos 75° = -2 sin((105° + 75°)/2) sin((105° - 75°)/2) = -2 sin(90°) sin(15°) = -2 * 1 * sin(15° = -2 * (√6 - √2)/4 = -(√6 - √2)/2.

Таким образом, мы получили значения для всех выражений:

• cos 55° cos 20° = 0.5(√3)
• sin 105° + sin 75° = 2 cos(15°)
• sin 105° - sin 75° = 0
• sin (11π/12) + sin (5π/12) = √3
• cos (π/12) + sin (7π/12) = √6/2
• cos 97° + cos 83° = 0
• cos 105° - cos 75° = -(√6 - √2)/2