Какой существует количество способов собрать подарок из 10 игрушек, если в магазине представлены 4 вида игрушек: гусь, осьминог, акула и зебра?

Алгебра 11 класс Комбинаторика способы собрать подарок 10 игрушек 4 вида игрушек гусь осьминог акула зебра комбинаторика алгебра 11 класс Новый

Для решения этой задачи мы можем использовать метод комбинаторики, известный как "задача о распределении indistinguishable objects into distinguishable boxes" (распределение неразличимых объектов по различимым ящикам). В нашем случае, игрушки являются неразличимыми, а виды игрушек - различимыми.

Итак, у нас есть 10 игрушек, которые нужно собрать, и 4 вида игрушек. Обозначим количество игрушек каждого вида как:

• x1 - количество гусей
• x2 - количество осьминогов
• x3 - количество акул
• x4 - количество зебр

Нам нужно решить уравнение:

x1 + x2 + x3 + x4 = 10

где x1, x2, x3, x4 - неотрицательные целые числа. Для решения этой задачи мы можем использовать метод "звёзд и полос" (stars and bars).

Согласно методу "звёзд и полос", количество решений уравнения вида:

x1 + x2 + ... + xk = n

где x1, x2, ..., xk - неотрицательные целые числа, можно найти по формуле:

C(n + k - 1, k - 1)

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

В нашем случае:

• n = 10 (количество игрушек)
• k = 4 (количество видов игрушек)

Подставим значения в формулу:

C(10 + 4 - 1, 4 - 1) = C(13, 3)

Теперь нам нужно вычислить C(13, 3):

• 13! / (3! * (13 - 3)!) = 13! / (3! * 10!)
• Это можно упростить, так как 13! = 13 * 12 * 11 * 10!:
• C(13, 3) = (13 * 12 * 11) / (3 * 2 * 1)

Теперь давайте посчитаем:

• 13 * 12 = 156
• 156 * 11 = 1716
• 3 * 2 * 1 = 6

Теперь делим:

1716 / 6 = 286

Таким образом, количество способов собрать подарок из 10 игрушек, если в магазине представлены 4 вида игрушек, равно 286.