Какую первообразную можно найти для функции: f(x) = 1 / √(2x + 3)?

Алгебра 11 класс Неопределенный интеграл алгебра 11 класс первообразная функции интеграл f(x) 1 / √(2x + 3) нахождение первообразной методы интегрирования Новый

Для нахождения первообразной функции f(x) = 1 / √(2x + 3) мы будем использовать метод подстановки. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Определим подстановку. Мы заметим, что под корнем у нас выражение 2x + 3. Для удобства сделаем подстановку:
   • Пусть u = 2x + 3.
2. Найдём производную u по x. Это поможет нам выразить dx через du:
   • du/dx = 2, отсюда dx = du / 2.
3. Подставим u в интеграл. Теперь мы можем переписать наш интеграл:
   • Интеграл f(x) будет выглядеть так: ∫(1 / √u) * (du / 2).
4. Упростим интеграл. Мы можем вынести 1/2 за знак интеграла:
   • ∫(1 / √u) * (du / 2) = (1/2) * ∫(u^(-1/2)) du.
5. Выполним интегрирование. Интеграл u^(-1/2) можно легко вычислить:
   • ∫u^(-1/2) du = 2u^(1/2) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
6. Подставим обратно u. Теперь вернёмся к нашей подстановке:
   • (1/2) * (2u^(1/2) + C) = u^(1/2) + C/2.
   • Заменяем u на 2x + 3:
   • u^(1/2) = √(2x + 3).
7. Запишем окончательный ответ. Таким образом, первообразная функции f(x) будет:
   • F(x) = √(2x + 3) + C.

Таким образом, мы нашли первообразную для функции f(x) = 1 / √(2x + 3). Это F(x) = √(2x + 3) + C, где C - произвольная константа.