Конечно, давайте решим данное рациональное уравнение: x³ - 6x² + 12x - 16 = 0.

Для начала, мы можем попробовать найти корни уравнения с помощью метода подбора или теоремы о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни уравнения имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена (в данном случае -16), а q - делители ведущего коэффициента (в данном случае 1).

Делители числа -16: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. Теперь мы проверим, какие из этих чисел являются корнями уравнения:

• Проверим x = 2:

Подставим x = 2 в уравнение:

2³ - 6(2)² + 12(2) - 16 = 8 - 24 + 24 - 16 = -8 (не корень)

• Проверим x = 4:

Подставим x = 4 в уравнение:

4³ - 6(4)² + 12(4) - 16 = 64 - 96 + 48 - 16 = 0 (корень)

Итак, x = 4 является корнем уравнения. Теперь мы можем воспользоваться делением многочлена для нахождения остальных корней. Мы будем делить многочлен x³ - 6x² + 12x - 16 на (x - 4).

Для деления используем схематическое деление:

1. Записываем коэффициенты: 1, -6, 12, -16.
2. Записываем 4 (корень) слева.
3. Сначала опускаем 1 (первый коэффициент).
4. Умножаем 4 на 1 и добавляем к следующему коэффициенту: 4 * 1 = 4; -6 + 4 = -2.
5. Умножаем 4 на -2 и добавляем к следующему коэффициенту: 4 * -2 = -8; 12 - 8 = 4.
6. Умножаем 4 на 4 и добавляем к последнему коэффициенту: 4 * 4 = 16; -16 + 16 = 0.

Таким образом, мы получили остаток 0 и деление привело к многочлену 1x² - 2x + 4. Теперь нам нужно решить квадратное уравнение:

x² - 2x + 4 = 0.

Для этого используем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = -12.

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что у уравнения нет действительных корней.

Таким образом, у уравнения x³ - 6x² + 12x - 16 = 0 есть один действительный корень x = 4 и два комплексных корня, которые можно найти с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x = (2 ± √(-12))/2 = 1 ± i√3.

Ответ: x = 4 (действительный корень), x = 1 + i√3 и x = 1 - i√3 (комплексные корни).