Можете, пожалуйста, помочь решить следующие уравнения?

1. log по основанию 4(x^2-15x)=2
2. lg(x^2-9)=lg(4x+3)
3. 2log по основанию2(-x)=1+log по основанию2(x+4)
4. log по основанию2 ^5 x+log5x-2=0

Алгебра 11 класс Логарифмы алгебра 11 класс решение уравнений логарифмические уравнения математические задачи помощь по алгебре Новый

Конечно! Давайте решим каждое из уравнений по порядку.

1. Уравнение: log по основанию 4(x^2-15x) = 2

Первым шагом мы можем переписать это уравнение в экспоненциальной форме:

x^2 - 15x = 4^2

Это упрощается до:

x^2 - 15x = 16

Теперь перенесем 16 в левую часть:

x^2 - 15x - 16 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• a = 1, b = -15, c = -16
• D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4*1*(-16) = 225 + 64 = 289

Корни уравнения:

• x1 = (15 + sqrt(289)) / 2 = (15 + 17) / 2 = 16
• x2 = (15 - sqrt(289)) / 2 = (15 - 17) / 2 = -1

Проверяем, что x = 16 подходит, так как под логарифмом должно быть положительное значение. x = -1 не подходит.

Ответ: x = 16

2. Уравнение: lg(x^2-9) = lg(4x+3)

Поскольку у нас одинаковые логарифмы, мы можем приравнять аргументы:

x^2 - 9 = 4x + 3

Переносим все в одну сторону:

x^2 - 4x - 12 = 0

Решаем квадратное уравнение:

• a = 1, b = -4, c = -12
• D = (-4)^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64

Корни уравнения:

• x1 = (4 + sqrt(64)) / 2 = (4 + 8) / 2 = 6
• x2 = (4 - sqrt(64)) / 2 = (4 - 8) / 2 = -2

Проверяем, что оба корня подходят под логарифмы:

• Для x = 6: 6^2 - 9 = 27 > 0 и 4*6 + 3 = 27 > 0
• Для x = -2: (-2)^2 - 9 = -5 < 0 (не подходит)

Ответ: x = 6

3. Уравнение: 2log по основанию 2(-x) = 1 + log по основанию 2(x+4)

Сначала упростим левую часть:

log по основанию 2((-x)^2) = log по основанию 2(x^2)

Тогда уравнение становится:

log по основанию 2(x^2) = 1 + log по основанию 2(x + 4)

Используем свойства логарифмов:

log по основанию 2(x^2) - log по основанию 2(x + 4) = 1

Это можно переписать как:

log по основанию 2(x^2 / (x + 4)) = 1

Экспоненциальная форма:

x^2 / (x + 4) = 2

Умножим обе стороны на (x + 4):

x^2 = 2(x + 4)

x^2 - 2x - 8 = 0

Решаем квадратное уравнение:

• a = 1, b = -2, c = -8
• D = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

Корни:

• x1 = (2 + sqrt(36)) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4
• x2 = (2 - sqrt(36)) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2

Проверяем:

• Для x = 4: -4 < 0 (не подходит)
• Для x = -2: -(-2) = 2 > 0 (подходит)

Ответ: x = -2

4. Уравнение: log по основанию 2^5 x + log 5x - 2 = 0

Сначала упростим:

log по основанию 2^5 x = log по основанию 2(x) / 5

Тогда уравнение будет выглядеть так:

log по основанию 2(x) / 5 + log 5x - 2 = 0

Переписываем в более удобной форме:

log по основанию 2(x) + log по основанию 2(5x) = 2

Используем свойства логарифмов:

log по основанию 2(5x^2) = 2

Экспоненциальная форма:

5x^2 = 2^2 = 4

Тогда:

x^2 = 4/5

x = ±sqrt(4/5) = ±2/sqrt(5)

Проверяем, что оба корня подходят под логарифмы:

• Положительное значение подходит, отрицательное - нет.

Ответ: x = 2/sqrt(5)

Надеюсь, это помогло вам разобраться с решением уравнений!