Чтобы найти наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 3 на отрезке [2; 3], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

Сначала найдем производную функции f(x), чтобы определить критические точки, где производная равна нулю.

Производная f'(x) будет:

f'(x) = 6x^2 - 30x + 24.

2. Найти критические точки.

Решим уравнение f'(x) = 0:

6x^2 - 30x + 24 = 0.

Упростим уравнение, поделив его на 6:

x^2 - 5x + 4 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = 4.

Подставим значения:

x = (5 ± √((-5)² - 4 * 1 * 4)) / (2 * 1) = (5 ± √(25 - 16)) / 2 = (5 ± √9) / 2 = (5 ± 3) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

x1 = (5 + 3) / 2 = 4 и x2 = (5 - 3) / 2 = 1.

Критические точки: x1 = 4 и x2 = 1. Однако, так как мы ищем минимум на отрезке [2; 3], нас интересует только значение производной на этом отрезке.

3. Проверить значения на границах отрезка.

Теперь нам нужно найти значения функции f(x) на границах отрезка [2; 3]:

• f(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 24(2) + 3 = 16 - 60 + 48 + 3 = 7.
• f(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 24(3) + 3 = 54 - 135 + 72 + 3 = -6.
4. Сравнить значения.

Теперь сравним найденные значения:

• f(2) = 7
• f(3) = -6

На отрезке [2; 3] у нас нет критических точек, так как ни одна из них не попадает в этот отрезок. Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [2; 3] - это f(3).

5. Ответ.

Наименьшее значение функции f(x) на отрезке [2; 3] равно -6.