Чтобы найти сумму целых решений данной системы неравенств, начнем с решения каждого неравенства по отдельности.

x^2 + x ≤ 12

Перепишем его в стандартной форме:

x^2 + x - 12 ≤ 0

Теперь найдем корни соответствующего уравнения x^2 + x - 12 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.
• Корни уравнения: x1 = (-b + √D) / 2a = (-1 + 7) / 2 = 3 и x2 = (-b - √D) / 2a = (-1 - 7) / 2 = -4.

Теперь у нас есть корни x1 = 3 и x2 = -4. Мы можем разложить квадратный трёхчлен:

(x + 4)(x - 3) ≤ 0.

Теперь определим промежутки, где это неравенство выполняется:

• Знак выражения (x + 4)(x - 3) меняется в точках x = -4 и x = 3.
• Проверим знаки в интервалах: (-∞, -4), (-4, 3), (3, +∞).
• Для x < -4: (отрицательное) * (отрицательное) = положительное.
• Для -4 < x < 3: (положительное) * (отрицательное) = отрицательное.
• Для x > 3: (положительное) * (положительное) = положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале:

-4 ≤ x ≤ 3.

Целые числа в этом интервале: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Всего 8 целых решений.

(4 - 3√2)(2x + 3) > 3√2 - 4.

Сначала найдем значение 3√2 - 4. Приблизительно √2 ≈ 1.414, следовательно, 3√2 ≈ 4.242, и 3√2 - 4 ≈ 0.242.

Теперь, чтобы упростить второе неравенство, найдем значение (4 - 3√2). Это отрицательное число, так как 4 < 4.242.

Разделим обе части неравенства на (4 - 3√2), не забывая, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

2x + 3 < (3√2 - 4) / (4 - 3√2).

Теперь выразим 2x:

2x < (3√2 - 4) / (4 - 3√2) - 3.

Это неравенство можно решить, но для поиска целых решений нам интересен только его знак. Поскольку 4 - 3√2 < 0, мы можем определить, что 2x + 3 < 0, что дает нам:

2x < -3, следовательно, x < -3/2.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, -4, -3.

Теперь у нас есть целые решения первого неравенства: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и целые решения второго неравенства: -4, -3.

Общие целые решения системы: -4, -3.

Суммируем: -4 + (-3) = -7.

Таким образом, ответ: