Для решения неравенства log₂(x²) < log₂(6x + 27) начнем с того, что логарифмы с одинаковым основанием можно сравнивать, если их аргументы положительны. Поэтому сначала найдем область определения обеих частей.

• Аргумент логарифма слева: x² > 0, что выполняется для всех x, кроме x = 0.
• Аргумент логарифма справа: 6x + 27 > 0. Решим это неравенство:

6x + 27 > 0

6x > -27

x > -4.5

Таким образом, область определения нашего неравенства: x > -4.5 и x ≠ 0.

Теперь можем переписать неравенство без логарифмов, так как логарифмическая функция является возрастающей:

Переносим все в одну сторону:

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

где a = 1, b = -6, c = -27.

Подставим значения:

Считаем дискриминант:

Теперь подставим дискриминант в формулу:

√144 = 12, следовательно:

Находим корни:

• x₁ = (6 + 12) / 2 = 18 / 2 = 9
• x₂ = (6 - 12) / 2 = -6 / 2 = -3

Теперь у нас есть корни x = 9 и x = -3. Мы можем использовать их для определения интервалов, на которых неравенство выполняется:

Проверим знаки на интервалах:

• Интервал (-∞, -3): возьмем, например, x = -4. Подставляем в x² - 6x - 27:
• (-4)² - 6(-4) - 27 = 16 + 24 - 27 = 13 > 0 (не выполняется)
• Интервал (-3, 9): возьмем, например, x = 0. Подставляем:
• 0² - 6(0) - 27 = -27 < 0 (выполняется)
• Интервал (9, +∞): возьмем, например, x = 10. Подставляем:
• 10² - 6(10) - 27 = 100 - 60 - 27 = 13 > 0 (не выполняется)

Таким образом, неравенство выполняется на интервале (-3, 9).

Теперь найдем наименьшее целое решение в этом интервале. Наименьшее целое число, которое больше -3 и меньше 9, это -2.

Итак, наименьшее целое решение неравенства log₂(x²) < log₂(6x + 27) это -2.